多元函数积分学中的利用轮换对称性积分

当多个变元具有轮换对称性并且第一类曲线（面）积分计算量较大时，考虑利用轮换对称性解题

（1）$\oint_L x^2ds$,其中$L$为圆周 $\left\{ \begin{aligned} x^2+y^2+z^2 & = & a^2,\\ x+y+z & = & 0 .\\ \end{aligned} \right.$

解： 由于$x,y,z$等效，所以具有轮换对称性，则： $\oint_Lx^2ds=\frac{1}{3} \oint_L(x^2+y^2+z^2)ds=\frac{1}{3} a^2\oint_Lds=\frac{1}{3}a^22\pi a=\frac{2}{3}\pi a^3.$

(2)半径为$R$的均匀球壳（面密度$\mu=1.0$）,求其对过球心的一条轴$l$的转动惯量.

解： 选取球心为坐标原点，转轴$l$为直径$z$轴，则球面方程为：

$x^2+y^2+z^2=R^2.$

$I_z= \oiint_S(x^2+y^2)ds.$

由于$x,y,z$等效，所以具有轮换对称性，则：

$I_z= \oiint_S(x^2+y^2)ds=\frac{2}{3} \oiint_S(x^2+y^2+z^2)ds=\frac{2}{3}R^2\oiint_Sds=\frac{2}{3}R^24\pi R^2=\frac{8}{3}\pi R^4.$