Leetcode - 零钱兑换 II

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题目描述

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

注意:

你可以假设：

• 0 $\le$ amount (总金额) $\le$ 5000
• 1 $\le$ coin (硬币面额) $\le$ 5000
• 硬币种类不超过 500 种
• 结果符合 32 位符号整数

解题思路

这道题中，给定总金额 amount 和数组 coinw，要求计算金额之和等于 amount的硬币组合数。其中，coins的每个元素可以选取多次，且不考虑选取元素的顺序，因此这道题需要计算的是选取硬币的组合数。

可以通过动态规划的方法计算可能的组合数。用 $dp[x]$ 表示金额之和等于 $x$ 的硬币组合数，目标是求$dp[amount]$。

动态规划的边界是 $dp[0]=1$。只有当不选取任何硬币时，金额之和才为 $0$，因此只有 $1$ 种硬币组合。

对于面额为 $coin$ 的硬币，当 $coin \le i \le amount$时，如果存在一种硬币组合的金额之和等于 $i−coin$，则在该硬币组合中增加一个面额为 $coin$的硬币，即可得到一种金额之和等于 iii 的硬币组合。因此需要遍历 coins，对于其中的每一种面额的硬币，更新数组 $dp$ 中的每个大于或等于该面额的元素的值。

由此可以得到动态规划的做法：

• 初始化 $dp[0]=1$；
• 遍历 coins，对于其中的每个元素 coin，进行如下操作：
• 遍历 $i$ 从 coin 到 amount，将 $dp[i−coin]$ 的值加到 $dp[i]$。
• 最终得到 $dp[amount]$的值即为答案。

代码

C++代码

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int& coin : coins) {
            for (int i = coin; i <= amount; i++) {
                dp[i] += dp[i - coin];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};