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题目描述

集团里有 n 名员工，他们可以完成各种各样的工作创造利润。

第 i 种工作会产生 profit[i] 的利润，它要求 group[i] 名成员共同参与。如果成员参与了其中一项工作，就不能参与另一项工作。

工作的任何至少产生 minProfit 利润的子集称为盈利计划。并且工作的成员总数最多为 n 。

有多少种计划可以选择？因为答案很大，所以返回结果模 $10^9 + 7$ 的值。

示例 1：

输入：n = 5, minProfit = 3, group = [2,2], profit = [2,3]
输出：2
解释：至少产生 3 的利润，该集团可以完成工作 0 和工作 1 ，或仅完成工作 1 。
总的来说，有两种计划。

示例 2：

输入：n = 10, minProfit = 5, group = [2,3,5], profit = [6,7,8]
输出：7
解释：至少产生 5 的利润，只要完成其中一种工作就行，所以该集团可以完成任何工作。
有 7 种可能的计划：(0)，(1)，(2)，(0,1)，(0,2)，(1,2)，以及 (0,1,2) 。

提示：

1 $\le$ n $\le$ 100
0 $\le$ minProfit $\le$ 100
1 $\le$ group.length $\le$ 100
1 $\le$ group[i] $\le$ 100
profit.length == group.length
0 $\le$ profit[i] $\le$ 100

解题思路

本题与经典背包问题非常相似。两者不同点在于经典背包问题只有一种容量限制，而本题却有两种限制：集团员工人数上限 n，以及工作产生的利润下限 minProfit。

通过经典背包问题的练习，我们已知经典背包问题可以使用二维动态规划求解：两个维度分别代表物品和容量的限制标准。对于本题上述的两种限制，我们可以想到使用三维动态规划求解。本题解法的三个维度分别为：当前可选择的工作，已选择的小组员工人数，以及目前状态的工作获利下限。

根据上述分析，我们可以定义一个三维数组 $dp$ 作为动态规划的状态，其中 $dp[i][j][k]$ 表示在前 $i$ 个工作中选择了 $j$ 个员工，并且满足工作利润至少为 $k$ 的情况下的盈利计划的总数目。假设 group 数组长度为 len，那么不考虑取模运算的情况下，最终答案为：

\sum_{i=0}^{n}[len][i][minProfit]

所以我们可以新建一个三维数组 $dp[len+1][n+1][minProfit+1]$ ，初始化 $dp[0][0][0]=1$ 。接下来分析状态转移方程，对于每个工作 $i$ ，我们根据当前工作人数上限 $j$ ，有能够开展当前工作和无法开展当前工作两种情况：

如果无法开展当前工作 $i$ ，那么显然：

dp[i][j][k]=dp[i−1][j][k]

如果能够开展当前工作 $i$ ，设当前小组人数为 $group[i]$ ，工作获利为 $profit[i]$ ，那么不考虑取模运算的情况下，则有：

dp[i][j][k]=dp[i−1][j][k]+dp[i−1][j-group[i]][\max(0,k−profit[i])]

由于我们定义的第三维是工作利润至少为 $k$ 而不是工作利润恰好为 $k$ ，因此上述状态转移方程中右侧的第三维是 $\max(0, k - \textit{profit}[i])$ 而不是 $k−profit[i]$ 。

代码

class Solution {
public:
    int profitableSchemes(int n, int minProfit, vector<int>& group, vector<int>& profit) {
        int len = group.size(), MOD = (int)1e9 + 7;
        vector<vector<vector<int>>> dp(len + 1, vector<vector<int>>(n + 1, vector<int>(minProfit + 1)));
        dp[0][0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= len; i++) {
            int members = group[i - 1], earn = profit[i - 1];
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                for (int k = 0; k <= minProfit; k++) {
                    if (j < members) {
                        dp[i][j][k] = dp[i - 1][j][k];
                    } else {
                        dp[i][j][k] = (dp[i - 1][j][k] + dp[i - 1][j - members][max(0, k - earn)]) % MOD;
                    }
                }
            }
        }
        int sum = 0;
        for (int j = 0; j <= n; j++) {
            sum = (sum + dp[len][j][minProfit]) % MOD;
        }
        return sum;
    }
};