简单算法题我重拳出击 | leetcode.[338]比特位计数-JAVA

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原题

比特位计数

给定一个非负整数num。对于0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

• 位运算
• 动态规划

示例 1:

输入: 2
输出: [0,1,1]

示例?2:

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]

进阶:

• 给出时间复杂度为**O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)**内用一趟扫描做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为O(n)。
• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的__builtin_popcount）来执行此操作。

重拳出击

这题一开始我完全没看出来为什么是动态规划，然后瞎打草稿，写每个数字的 二进制表示，然后似乎发现了什么。（简单题真实难）

列一下 0 - 9 的二进制表示：

0 = 0 0 0 0
1 = 0 0 0 1
2 = 0 0 1 0
3 = 0 0 1 1
4 = 0 1 0 0
5 = 0 1 0 1
6 = 0 1 1 0
7 = 0 1 1 1
8 = 1 0 0 0
9 = 1 0 0 1

观察上面这些东西，因为要使用动态规划的话，必须要找出它们的递推关系。首先我们能发现：

• 如果是偶数的情况

  比如 2 ，4， 6 他们的二进制表示与它们1/2有关。如 2 的二进制表示是 1 << 1 左移一位，4 是 2 << 1，6 是 3 << 1 。毕竟都是乘以 2

• 如果是奇数的情况

  假设这个数字是 n , 那么它的二进制的表示是 n - 1 的二进制表示的末尾添加一个 1 ；同时我们可以反过来，因为奇数的二进制末尾是 1，所以如果把末尾的 1 去掉就等于 n - 1 的二进制表示。而 n - 1 是偶数, 于是就可以照着上面的偶数情况套娃了，所以奇数 n 的二进制 1 的个数等于 n/2 中二进制 1 的位数 +1.

• 子问题

  上面的这两种情况可以一直往下去递推，所以我们可以这样设置子问题：dp[n]为 n 的二进制数中 1 的个数

• 方程

  根据一开始的推理 ，可以比较容易的列出来下面的状态转移方程( 从 0 开始 )：

  $$dp(n)=\left\{ \begin{aligned} 0 & &\ n = 0 \\ dp[n] = dp[n >> 1] + (n \& 1) & &\ n > 1 \\ \end{aligned} \right.$$

• 结合各种条件写代码

      public int[] countBits(int n) {
          //初始化dp数组
          int[] dp = new int[n+1];
          //根据方程变出来的代码
          for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
              // i & 1是得到末尾唯一的数，可以起到奇偶分情况的作用
              dp[i] = dp[i >> 1] + (i & 1);
          }
          return dp;
      }
  

收

• 动态规范题目找子问题，需要先找到递推关系（其实那时候就能写出来递归解法）