Leetcode - 最后一块石头的重量 II

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题目描述

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x $\le$ y。那么粉碎的可能结果如下：

• 如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
• 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。

最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

示例 3：

输入：stones = [1,2]
输出：1

提示：

• 1 $\le$ stones.length $\le$ 30
• 1 $\le$ stones[i] $\le$ 100

解题思路

记石头的总重量为 sum，$k_i=−1$ 的石头的重量之和为 neg，则其余 $k_i=1$ 的石头的重量之和为 sum−neg。则有

要使最后一块石头的重量尽可能地小，neg 需要在不超过 $\lfloor sum/2 \rfloor$的前提下尽可能地大。因此本问题可以看作是背包容量为$\lfloor sum/2 \rfloor$，物品重量和价值均为$stones_i$的 0-1 背包问题。

对于该问题，定义二维布尔数组 dp，其中 $dp[i+1][j]$ 表示前 $i$ 个石头能否凑出重量 $j$。特别地，$dp[0][]$为不选任何石头的状态，因此除了 $dp[0][0]$ 为真，其余 $dp[0][j]$ 全为假。

对于第 $i$ 个石头，考虑凑出重量$j$：

若 $j<stones[i]$，则不能选第 iii 个石头，此时有 $dp[i+1][j]=dp[i][j]$；

若 $j \ge stones[i]$，存在选或不选两种决策，不选时有 $dp[i+1][j]=dp[i][j]$，选时需要考虑能否凑出重量 $j−stones[i]$，即 $dp[i+1][j]=dp[i][j−stones[i]]$。若二者均为假则 $dp[i+1][j]$ 为假，否则 $dp[i+1][j]$ 为真。

代码

C++代码如下

class Solution {
public:
    int lastStoneWeightII(vector<int> &stones) {
        int sum = accumulate(stones.begin(), stones.end(), 0);
        int n = stones.size(), m = sum / 2;
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1));
        dp[0][0] = true;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = 0; j <= m; ++j) {
                if (j < stones[i]) {
                    dp[i + 1][j] = dp[i][j];
                } else {
                    dp[i + 1][j] = dp[i][j] || dp[i][j - stones[i]];
                }
            }
        }
        for (int j = m;; --j) {
            if (dp[n][j]) {
                return sum - 2 * j;
            }
        }
    }
};