RAS数学原理

密码学

概念

密码学是指研究信息加密，破解密码的技术科学。密码学的起源可追溯到2000年前。而当今的密码学是以数学为基础的。

发展历史

密码学的历史大致可以追溯到两千年前，相传古罗马名将凯撒大帝为了防止敌方截获情报，用密码传送情报。凯撒的做法很简单，就是对二十几个罗马字母建立一张对应表。这样，如果不知道密码本，即使截获一段信息也看不懂。
从凯撒大帝时代到上世纪70年代这段很长的时间里，密码学的发展非常的缓慢，因为设计者基本上靠经验。没有运用数学原理。

外面的一圈是秘文, 中间的一圈是明文。 * 破解方式： * 拿到密码本 * 统计字母出现的频率

在1976年以前，所有的加密方法都是同一种模式：加密、解密使用同一种算法。在交互数据的时候，彼此通信的双方就必须将规则告诉对方，否则没法解密。那么加密和解密的规则（简称密钥），它保护就显得尤其重要。传递密钥就成为了最大的隐患。这种加密方式被成为对称加密算法（symmetric encryption algorithm）
- 对称加密密钥的保护非常重要
1976年，两位美国计算机学家迪菲（W.Diffie）、赫尔曼（ M.Hellman ）提出了一种崭新构思，可以在不直接传递密钥的情况下，完成密钥交换。这被称为“迪菲赫尔曼密钥交换”算法。开创了密码学研究的新方向
- 迪菲赫尔曼密钥交换目的是为了保护密钥
1977年三位麻省理工学院的数学家罗纳德·李维斯特（Ron Rivest）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）和伦纳德·阿德曼（Leonard Adleman）一起设计了一种算法，可以实现非对称加密。这个算法用他们三个人的名字命名，叫做RSA算法。

RSA数学原理难点

离散数学问题

思考题一：加密容易，破解很难数学运算?
- 方案取模运算也叫时钟算数
- 比如时钟是1到12, 共12格, 有一根绳子长13格, 绕着时钟转1圈,余出1个格子。如果绳子的长度是14格,绕着时钟转1圈,余出2个格子。这就是取模运算早期的算法。

质数只有1和自己可以被整除

如果使用质数做模数，比如17;
再找一个比17小的数字，比如3
3的n次方模上17 就会出现下面这张表。会发现等号右边的结果都不一样，3的1到16次方的结果都会落到1到16
使用python计算的结果

>>> 3**1%17
3
>>> 3**2%17
9
>>> 3**3%17
10
>>> 3**4%17
13
>>> 3**5%17
5
>>> 3**6%17
15
>>> 3**7%17
11
>>> 3**8%17
16
>>> 3**9%17
14
>>> 3**10%17
8
>>> 3**11%17
7
>>> 3**12%17
4
>>> 3**13%17
12
>>> 3**14%17
2
>>> 3**15%17
6
>>> 3**16%17
1
>>> 3**17%17
3
>>>

将3称为17的原根
3的n次方模以17,结果就会落到1到16之间, 但是知道结果，反推出n的值是比较麻烦的。比如结果是12，并且也知道算法，但是反推n的值.n会有多个值，12、29等，然后一个一个的去尝试
那个一数字变大会加大反推的难度？17 质数变大会加大反推的难度。如果质数是长度是几百位的，想要反推回来几乎不可能。这就被称为离散对数问题

欧拉函数φ

互质关系

如果两个正整数，除了1以外，没有其它公因数，我们就称这两个数是互质关系
- 比如3和5 3和7 5和6

欧拉函数

任意给定一个正整数n, 请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？
- 计算这个值的方式叫做欧拉函数，使用：Φ(n)表示如: 计算8的欧拉函数，和8互质的 1、3、5、7 φ(8) = 4 计算7的欧拉函数，和7互质的 1、2、3、4、5、6、7 φ(7) = 6 计算56的欧拉函数 φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24

欧拉函数特点

一、当n是质数的时候，φ(n)=n-1。
二、如果n可以分解成两个互质的整数之积，如n=A*B, 则φ(A*B)=φ(A)* φ(B)
三、根据以上两点得到：如果N是两个质数P1 和 P2的乘积则 φ(N)=φ(P1)* φ(P2)=(P1-1)*(P2-1)

根据欧拉函数的特点，计算56的欧拉函数 φ(56) = φ(8) * φ(7) = 4 * 6 = 24 φ（35）= φ（5）* φ（7）= 4 * 6 = 24

欧拉定理

如果两个正整数m和n互质，那么m的φ(n)次方减去1，可以被n整除。

费马小定理

欧拉定理的特殊情况：如果两个正整数m和n互质，而且n为质数！那么φ(n)结果就是n-1。

公式转换

迪菲赫尔曼密钥交换

服务端取一个随机数 3^15 mod 17 = 6 15就是随机数，15只有服务器知道
将6传给客户端三方可以窃取到6
客户端用同样的算法 3^13 mod 17 = 12,取一个随机数 13
将12发送给服务器三方可以窃取到12
客户端拿到服务端发送的6 6^13 mod 17 = 10
服务端拿到客户端发送的12 12^15 mod 17 = 10
客户端和服务端都会得到10 服务端和客户端想交换的数字是10

原理

RSA的诞生

m和n既要互质, 又要m是n的原根
公钥 n和e一起是公钥
私钥 n和d一起是私钥

RSA算法

RSA终端命令

由于mac系统内置OpenSSL(开源密码库), 所以我们可以直接在终端使用命令来玩RSA。OpenSSL中RSA算法常用指令主要有三个

命令含义
genrsa 生成并输入一个RSA私钥
rsaatl 使用RSA密钥进行加密、解密、签名和验证等运算
rsa 处理RSA密钥的格式转换等问题
生成RSA私钥, 密钥的长度为1024bit
```
openssl genrsa -out private.gem 1024
```

命令	含义
genrsa	生成并输入一个RSA私钥
rsaatl	使用RSA密钥进行加密、解密、签名和验证等运算
rsa	处理RSA密钥的格式转换等问题

从私钥中提取公钥

openssl rsa -in private.gem -pubout -out public.gem

PS: 公钥比私钥小很多

生成的文件如下

将私钥转换成为明文

// 转化为明文信息
openssl rsa -in private.gem -text -out private.txt
// 查看文本信息
cat private.txt

通过公钥加密数据, 私钥解密数据

// 生成明文文件
vi message.txt
// 查看文件内容
cat message.txt
// 通过公钥加密数据
openssl rsautl -encrypt -in message.txt -inkey public.gem -pubin -out enc.txt
// 通过私钥解密数据
openssl rsautl -decrypt -in enc.txt -inkey private.gem -out dec.txt

发现加密之后的文件会变大

通过私钥加密数据, 公钥解密数据

// 通过私钥加密数据 也叫签名
openssl rsautl -sign -in message.txt -inkey private.gem -out enc.txt
// 通过公钥解密数据 解密变成了签名验证
openssl rsautl -verify -in enc.txt -inkey public.gem -pubin -out dec.txt

PS: 私钥加密数据也叫签名. 公钥解密数据, 解密变成了签名验证 PS: iOS 中使用的是p12和der，p12就是私钥

RSA代码演示 openssl

总结

加密算法都是数学知识
对称加密又叫传统加密算法
RSA非对称加密（现代加密算法）RSA是三个人的名字
- 原根
- 欧拉函数，欧拉定理（费马小定理）
- 模反元素
- m ^（e * d）mod n ≡ m
- 迪菲赫尔曼密钥交换
RSA算法
- RSA 拆解两个（大）质数的乘积很难，所以RSA相对安全
- 加密：M ^ E % N = C
- 解密: C ^ D % N = M
- 密文: C 明文: M
- 公钥: N 和 E
- 私钥: N 和 D
- 条件
  - N是由两个很大的质数（P1、P2）相乘得到，为了方便求出φ(N)
  - D 是 E (65537) 相对于φ(N)的模反元素
- M < N

PS 什么是填充模式?

RAS数学原理

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发展历史

RSA数学原理 难点

离散数学问题

欧拉函数φ

互质关系

欧拉函数

欧拉函数特点

欧拉定理

费马小定理

公式转换

迪菲赫尔曼密钥交换

RSA的诞生

RSA算法

RSA终端命令

RSA代码演示 openssl

总结

RSA数学原理难点