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斐波那契数列
题目描述
写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2
输出：1
示例 2：
输入：n = 5
输出：5
提示
0 <= n <= 100
思路分析
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。感觉这种题目就是为递归而生的，大问题分解为多个子问题，子问题和父问题的解法逻辑一直，因为是从 0 和 1 开始，所以 0 和 1 就是终止条件。
递归解法我们可以使用备忘录解法进行优化，将计算过的值存入到数组中，如果已经计算过该表达式的值，直接从数组中取值即可。
同时我们也可以使用动态规划解法，动态的改变几个临时变量的值，优化计算时间。
代码展示
解法一：时间复杂度是，空间复杂度是。
int[] mem = new int[101];
public int fib(int n) {
return fib_r(n);
}
public int fib_r(int n) {
if (n == 0){
return 0;
}
if (n <= 2){
return 1;
}
if (mem[n] != 0){
return mem[n];
}
mem[n] = (fib_r(n-1) + fib_r(n-2)) % 1000000007;
return mem[n];
}
解法二：时间复杂度是，空间复杂度是。
public int fib(int n) {
if (n == 0){
return 0;
}
if (n <= 2){
return 1;
}
int a = 1;
int b = 1;
int c = 0;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
c = (a + b) % 1000000007;
a = b;
b = c;
}
return c;
}
a，b，c 的值在每次循环后进行一次变换，最终得到最后的值。
青蛙跳台阶问题
题目描述
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。
答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。
示例 1：
输入：n = 2
输出：2
示例 2：
输入：n = 7
输出：21
提示
0 <= n <= 100
思路分析
青蛙每次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶，也就是说只有这两种跳法，比如输入 n = 3，可以分解为连续跳三次一级台阶和两次（一次跳一级台阶，一次跳二级台阶，顺序不同，跳法不同），所以一共有 3 中跳法。n 可以分解为 n -1 和 n - 2 解法的和。
所以我们也就推出了我们的递归公式，终止条件是 n = 1 和 n = 2。需要注意的是 n = 0 是，返回值为 1，也就是说什么都不用跳，直接返回。
递归解法我们可以使用备忘录解法进行优化，将计算过的值存入到数组中，如果已经计算过该表达式的值，直接从数组中取值即可。
第二种解法是动态规划，我们可以动态地改变几个临时变量的值，大大地优化计算时间。
代码展示
解法一：时间复杂度是，空间复杂度是。
int[] cache = new int[101];
public int numWays(int n) {
if (n == 0){
return 1;
}
if (n == 1){
return 1;
}
if (n == 2){
return 2;
}
if (0 != cache[n]){
return cache[n];
}
cache[n] = (numWays(n-1) + numWays(n-2)) % 1000000007;
return cache[n];
}
解法二：时间复杂度是，空间复杂度是。
public int numWays(int n) {
if (n == 0){
return 1;
}
if (n == 1){
return 1;
}
if (n == 2){
return 2;
}
int a = 1;
int b = 2;
int c = 0;
for (int i = 3; i <=n ; i++) {
c = (a + b) % 1000000007;
a = b;
b = c;
}
return c;
}
a，b，c 的值在每次循环后进行一次变换，最终得到最后的值。
总结
斐波那契数列和青蛙跳台阶是典型的递归题目，解题者很容易想到递归解法，通过备忘录解法进行优化，同时我们也可以动态规划进行解答该题，不断的变化变量的值，返回最终的值。最后还要进行一个最大值越界处理。
