Android OpenCV（三十四）：直线拟合

易冬
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概念

直线拟合

霍夫直线检测是检测图像中是否存在直线，直线拟合则是假定我们已经知道点数据是在一条直线上，需要利用这些数据拟合出一条直线，但是由于噪声的存在，这条直线可能并不会通过大多数的数据点，此时，我们无法使用直线检测方式来寻找直线，而只能通过直线拟合的方式来求出这条直线。那么如何拟合直线呢？一般我们采用最小二乘法来保证所有数据点距离直线的距离最小，从而得出这条拟合出来的直线。

最小二乘法

最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：

标函数=∑（观测值−理论值）2标函数=\sum（观测值-理论值）^2

最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合 其他一些优化问题也可通过 最小化能量 或 最大化熵 用最小二乘法来表达。

假设现在有点

(x1,y1),(x2,y2)……(xn,yn) (x_1,y_1),(x_2,y_2)……(x_n,y_n)

设拟合多项式为：

y=ax+b y=ax+b

平方偏差为：

e2=∑i=1n(yi−y)2e2=∑i=1n(yi−(axi+b))2 e^2=\sum^n_{i=1}(y_i-y)^2\\ e^2=\sum^n_{i=1}(y_i-(ax_i+b))^2\\

我们要找到一组最好的a和b 能使得所有的误差达到最小化。上面公式分别对a和b求偏导：

∂e∂a=∑i=1n2(yi−(axi+b)(−xi))=0=∑i=1n(axi2+bxi−yixi)=0\frac{\partial e}{\partial a} = \sum^n_{i=1}2(y_i-(ax_i+b)(-x_i))=0\\ = \sum^n_{i=1}(ax_i^2+bx_i-y_ix_i)=0\\
得到等式（∑i=1nxi2）a+(∑i=1n)b=∑i=1nyixi∂e∂b=∑i=1n2(yi−(axi+b)(−1))=0=∑i=1n(axi+b−yi)=0得到等式\\（\sum^n_{i=1}x^2_i）a+(\sum^n_{i=1})b=\sum^n_{i=1}y_ix_i\\ \frac{\partial e}{\partial b} = \sum^n_{i=1}2(y_i-(ax_i+b)(-1))=0\\ =\sum^n_{i=1}(ax_i+b-y_i)=0\\
得到等式（∑i=1nxi）a+nb=∑i=1nyi{a∑i=1nxi=∑i=1nyi−bn(1)a∑i=1nxi2=∑i=1nxiyi−b∑i=1nx(2)得到等式\\（\sum^n_{i=1}x_i）a+nb=\sum^n_{i=1}y_i\\ \left\{ \begin{aligned} a\sum^n_{i=1}x_i&=\sum^n_{i=1}y_i-bn &(1)\\ a\sum^n_{i=1}x_i^2&=\sum^n_{i=1}x_iy_i-b\sum^n_{i=1}x &(2)\\ \end{aligned} \right.\\
(1)/(2)得到∑i=1nxi∑i=1nxi2=∑i=1nyi−bn∑i=1nxiyi−b∑i=1nx(3) (1)/(2)得到\\ \frac{\sum^n_{i=1}x_i}{\sum^n_{i=1}x_i^2}=\frac{\sum^n_{i=1}y_i-bn}{\sum^n_{i=1}x_iy_i-b\sum^n_{i=1}x} (3)\\
(3)交叉相乘后化简∑i=1nxi∑i=1nxiyi−b(∑i=1nxi)2=∑i=1nxi2∑i=1nyi−bn∑i=1nxi2(4) (3)交叉相乘后化简\\ \sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}x_iy_i-b(\sum^n_{i=1}x_i)^2=\sum^n_{i=1}x_i^2\sum^n_{i=1}y_i-bn\sum^n_{i=1}x_i^2(4)\\
通过(4)求得{a=∑i=1nxi∑i=1nyi−n∑i=1nxiyi(∑i=1nxi)2−n∑i=1nxi2b=∑i=1nxi∑i=1nxiyi−∑i=1nxi2∑i=1nyi(∑i=1nxi)2−n∑i=1nxi2 通过(4)求得\\ \left\{ \begin{aligned} a&=\frac{\sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}y_i-n\sum^n_{i=1}x_iy_i}{(\sum^n_{i=1}x_i)^2-n\sum^n_{i=1}x_i^2}\\ b&=\frac{\sum^n_{i=1}x_i\sum^n_{i=1}x_iy_i-\sum^n_{i=1}x_i^2\sum^n_{i=1}y_i}{(\sum^n_{i=1}x_i)^2-n\sum^n_{i=1}x_i^2}\\ \end{aligned} \right.\\

Excel直线拟合

给定一组数据，然后用散点图的方式展示后选择线性趋势线，完成直线拟合。

Excel直线拟合

GeoGebra 直线拟合

GeoGebra直线拟合

API

public static void fitLine(Mat points, Mat line, int distType, double param, double reps, double aeps)

  • 参数一：points，待拟合直线的点集。2D或3D点的输入向量，存储在std :: vector <>或Mat中

  • 参数二：line，输出线路参数。如果是2D拟合，则它应该是4个元素的向量（例如Vec4f）-（vx，vy，x0，y0），其中（vx，vy）是与线共线的归一化向量，而（x0，y0 ）是直线上的一点。如果是3D拟合，则它应该是6个元素的向量（例如Vec6f）-（vx，vy，vz，x0，y0，z0），其中（vx，vy，vz）是与线共线的归一化向量和（x0，y0，z0）是直线上的一点

  • 参数三：distType，最小二乘法使用的距离类型标志。

    enum DistanceTypes {
    DIST_USER    = -1,  //!< User defined distance
    DIST_L1      = 1,   //!< distance = |x1-x2| + |y1-y2|
    DIST_L2      = 2,   //!< the simple euclidean distance
    DIST_C       = 3,   //!< distance = max(|x1-x2|,|y1-y2|)
    DIST_L12     = 4,   //!< L1-L2 metric: distance = 2(sqrt(1+x*x/2) - 1))
    DIST_FAIR    = 5,   //!< distance = c^2(|x|/c-log(1+|x|/c)), c = 1.3998
    DIST_WELSCH  = 6,   //!< distance = c^2/2(1-exp(-(x/c)^2)), c = 2.9846
    DIST_HUBER   = 7    //!< distance = |x|<c ? x^2/2 : c(|x|-c/2), c=1.345
};

  • 参数四：param，某些距离类型的数值参数（C）。如果为0，则会自动选择一个最佳值

  • 参数五：reps，坐标原点与拟合直线之间的距离精度，数值为0表示选择自适应参数，一般选择0.01

  • 参数六：aeps，拟合直线的角度精度，数值0表示选择自适应参数，一般选择0.01

标志位计算公式

  • DIST_L1

    ρ(r)=r\rho (r) = r

  • DIST_L2

    ρ(r)=r2/2(the simplest and the fastest least-squares method)\rho (r) = r^2/2 \quad \text{(the simplest and the fastest least-squares method)}

  • DIST_L12

    ρ(r)=2⋅(1+r22−1)\rho (r) = 2 \cdot ( \sqrt{1 + \frac{r^2}{2}} - 1)

  • DIST_FAIR

    ρ(r)=C2⋅(rC−log⁡(1+rC))whereC=1.3998\rho \left (r \right ) = C^2 \cdot \left ( \frac{r}{C} - \log{\left(1 + \frac{r}{C}\right)} \right ) \quad \text{where} \quad C=1.3998

  • DIST_WELSCH

    ρ(r)=C22⋅(1−exp⁡(−(rC)2))whereC=2.9846\rho \left (r \right ) = \frac{C^2}{2} \cdot \left ( 1 - \exp{\left(-\left(\frac{r}{C}\right)^2\right)} \right ) \quad \text{where} \quad C=2.9846

  • DIST_HUBER

    ρ(r)={r22,当r<C时C(r−C2),其他其中C=1.345\rho \left (r \right )= \left\{ \begin{aligned} &\frac{r^2}{2},&当r<C时\\ &C(r-\frac{C}{2}),&其他 \\ \end{aligned} \right.\\ 其中C=1.345

操作

/**
 * 直线拟合
 * author: yidong
 * 2020/9/8
 */
class FitLineActivity : AppCompatActivity() {

    private lateinit var mBinding: ActivityFitLineBinding
    private val mPoints = MatOfPoint(
        Point(1.0, 21.0),
        Point(2.0, 34.0),
        Point(3.0, 43.0),
        Point(4.0, 67.0),
        Point(5.0, 79.0),
        Point(6.0, 66.0),
        Point(7.0, 67.0),
        Point(8.0, 88.0),
        Point(9.0, 90.0),
        Point(10.0, 100.0)
    )

    override fun onCreate(savedInstanceState: Bundle?) {
        super.onCreate(savedInstanceState)
        mBinding = DataBindingUtil.setContentView(this, R.layout.activity_fit_line)
        mBinding.presenter = this

        val points = StringBuilder()
        for (point in mPoints.toList()) {
            points.append(point.toString() + "\n")
        }
        mBinding.tvPoints.text = points
    }


    fun doFitLine() {
        val result = Mat()
        Imgproc.fitLine(mPoints, result, Imgproc.DIST_L1, 0.0, 0.00, 0.00)
        val lines = FloatArray(4)
        val tmp = FloatArray(1)
        for (i in 0 until result.rows()) {
            result.get(i, 0, tmp)
            lines[i] = tmp[0]
        }
        val k = lines[1] / lines[0]
        mBinding.tvResult.text = "y=$k(x-${lines[2]})+${lines[3]}"
        result.release()
    }
}

效果

直线拟合

疑问：OpenCV 拟合结果和 Excel 略有差异，用 GeoGebra 拟合的直线和 Excel 相同。有知道的朋友欢迎不吝赐教。

源码

github.com/onlyloveyd/…

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