简单算法题我重拳出击 | leetcode.[53]最大子序和

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原题

最大子序和

给定一个整数数组 nums，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

• $1 <= nums.length <= 3 * 10^4$
• $-10^5 <= nums[i] <= 10^5$

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组[4,-1,2,1] 的和最大，为6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [0]
输出：0

示例 4：

输入：nums = [-1]
输出：-1

进阶： 如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的 分治法 求解。

重拳出击

并不能快速出击，这简单题怎么这么难啊，淦。

首先仔细看了看题目，关键字是连续子数组

暴力

正经人能想到是暴力解法。 一看题目，是个数组，那么就能通过循环来获得它的连续子数组(不需要拿出来所有的子数组，那样的话实在太暴力了)，写出来应该是一个双层for循环。max的初始值要足够的小，不要设置0，防止意外发生。

int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < nums.length; i++)
{
    int sum = 0;
    for (int j = i; j < nums.length; j++)
    {
        sum = sum + nums[j];
        //因为取的是连续子数组的和，所以这里一个一个往后头加，然后找出来和最大的就行了
        if (sum > max) max = sum;
    }
}
//循环结束后max的值就是本题的答案

^正常情况到这就结束了，但是字数不太够，没得法子^

动态规划

一看题目下面有个标签[动态规划]，发现这题居然还能用动态规划，它不写我就不知道。菜主要就是菜在这里。

然后开始套动态规划题目的板子去写：

• 边界条件

  题目写了nums.length>=1 那这个就没什么特殊的边界了，就记一下第一个值用来推算就行。

  $$dp(n)=\left\{ \begin{aligned} nums[0] & &\ n = 1 \\ ??? & & \ n > 1 \\ \end{aligned} \right.$$

• 子问题

  一个长度为 n 的数组，它最大和的连续子数组的结尾可能在中间，也可能在两端。这波把子问题设置为：以nums[i]结尾的最大子数组

  然后人脑推算一下，这是一个长度为 m (0 < m << n) 的数组，假如以它第 m-1 个元素为结尾的子数组是最大的。那么，往它后面走一格，长度为 m + 1 ，这时候最大连续子数组的和。就会与第 m 个元素有关，这个元素可能大于之前那个连续子数组或者小于它 。这样，就会有两个结果：

  1. 子数组和比 m 大，继续比较第 m + 1个元素
  2. 子数组和比 m 小，放弃子数组，从第m个元素重新累计

  上头这个结论是能够一直往后面计算的，直到 m = n 。最终留下的那个子数组的和就是最大的。

• 方程

  根据上一条，可以得到如下：

  $$dp(nums[i])=\left\{ \begin{aligned} nums[0] & &\ n = 1 \\ MAX(nums[i], dp[i-1]+nums[i]) & & \ n > 1 \\ \end{aligned} \right.$$

  当数组 nums[i] 遍历结束之后，会得到一个 dp[i] 数组中存的是以nums[i]结尾的最大子数组的和，为了得到答案，需要在遍历一次。

• 结合各种条件写代码

      public int maxSubArray(int[] nums) {
          //动态规划嘛
          if (nums.length == 1) return nums[0];
          //状态：以num[i]结尾的最大子数组 为 dp[i]
          int[] dp=new int[nums.length];
          dp[0] = nums[0];
          //状态转移方程：MAX(nums[i], dp[i-1]+nums[i])
          for (int i=1;i<nums.length;i++){
              dp[i] = Math.max(nums[i],dp[i-1]+nums[i]);
          }
          //遍历dp数组找到最大的那个
          //初始值设置成最小的，有可能数组里头全是负数
          int res = Integer.MIN_VALUE;
          for (int j : dp) {
              res = Math.max(res, j);
          }
          return res;
      }
  

收

• 其实那个子问题还能以第 m 个元素是否大于零去做判断，又是一种不太一样的方法
• 其实我这个答案还能进行空间优化
• 其实原题目要我们用分治法，但是我不会