构造满足不等式的数组

构造长度为$N$的整型数组$arr$，使对于任意$i<j<k$，有

$arr[i]+arr[k]\neq 2arr[j]$

题解

思路

当数组长度为 1 时，任意数组都满足条件，长度为 2 时同理，例如数组$[1, 2]$，那么我们接下来可以想想能不能从这个短数组出发，构造出一个满足条件的长度为 4 的数组？然后再构造出更长的数组？

假设我们已经有了一个构造规则$f$，根据数学归纳法，我们只需要证明以下两点（其中第一点已经不需要证明了）：

一、数组长度为 1 时，满足条件$arr[i]+arr[k]\neq 2arr[j]$

二、如果一个长度为 k 的数组也满足条件，则通过$f$构造出的长度为 2k 的数组也满足条件

启发式：构造长度 4 和 8 的数组

接下来只需要求出$f$即可。我们就从$[1, 2]$开始，要想让长度翻倍，可以将这个数组分别按两种规则变成两个长度为 2 的数组，然后拼起来长度就是 4 了。

所以我们搞两个映射，一个将元素映射到奇数域上，另一个映射到偶数域上：

$f_1(i)=2i-1$

$f_2(i)=2i$

这两个映射并不唯一，但是难想。要说清楚为什么是这两个映射不太容易，我们这里只是验证这样的映射方式能不能得到最终数组，然后记住这道题的解法。

原数组被映射成$[1, 2]\to[1,3,2,4]$，实现了长度翻倍，因为目前长度只有 4，所以$arr[i]$和$arr[k]$必然一个是奇数一个是偶数，因此和必然不等于偶数$2arr[j]$。

长度不够导致有一种情况我们没有考虑到，即$i,k$同在数组左半区和右半区的情况。因此还需要继续验证长度更长时能否满足条件。

$[1,3,2,4]\to[1,5,3,7,2,6,4,8]$

同理，只有$arr[i]$和$arr[k]$奇偶性相同时才有可能不满足条件，即$i,k$同在数组左半区和右半区。

假设$i,j,k$都在左半区（左右半区都一样），由于左半区是由长度为 4 的数组根据$f_1$线性变换而来，因此如果不等式$arr[i]+arr[k]\neq 2arr[j]$在变换之前成立，则变换之后仍然成立。

而变换之前的数组，即$[1,3,2,4]$，我们已经验证过确实满足条件，所以这样变换到长度为 8 的数组也是正确的。

一般情况：构造长度为 N 的数组

那么如何构造长度为$N$的数组呢？这中间还有一个小问题，就是我们之前构造的数组长度全都是 2 的幂，而题目中给出的$N$并不一定是。

从长度 m 的数组$arrM$构造长度 2m的$arr2M$时，显然$arr2M$的任意一个子序列（即从中挑选一些位置的数，按照原来的相对位置重新组织成数组）仍然满足条件，所以长度为$N<2m$的数组可以认为成$arr2M$的子数组，也可以通过上述方法构造。

简而言之

映射

通过如下映射$f$，可以将$arr[0:m-1]$映射到$arr[0:2m-1]$：

数学归纳法

证明使用该映射规则，可以得到

1. 显然，长度为 1 时满足条件

2. 根据映射规则，长度为 2 的数组$[1, 2]$也可以从$[1]$得到，且满足条件。

3. 长度为$k,(k\geq3)$时满足条件，则映射得到的长度 2k 的数组也满足条件。分类讨论 i 和 k 可能出现的位置（在数组的左半区还是右半区）：

   1. 一个左一个右，和为奇数所以不等式成立
   2. 两个都在左（都在右），因为是满足条件的 k 长度数组线性变换来的，所以也满足条件

子序列仍满足条件

显然，如果 arr 满足条件，则 arr 的任何一个子序列都满足条件。因此，这个问题又两种方式可解：

1. 递归：每次将问题的规模减半求解，只要每次把超过的部分减去即可。例如长度 4 生成了长度 8，而我当前子问题只需要长度 7，直接舍弃最后一个数即可。
2. 迭代：按顺序生成长度 1,2,4... 的数组，直到生成了第一个长度大于 N 的数组，直接将多余部分舍弃。

代码

代码采用递归方式实现，函数$f$在传入数组 arr 上直接操作，每次操作的长度为当前过程的 len 值。通过对 len 不断折半直到 len = 1，填入基数组 [1]，然后不断返回上级递归过程，通过映射$f$实现基数组长度扩展。

public class MakeArray {
    public static int[] makeArray(int N) {
        if (N < 1) {
            return null;
        }
        int[] res = new int[N];
        f(res, N);
        return res;
    }
    private static void f(int[] arr, int len) {
        if (len > arr.length) {
            return;
        }
        if (len == 1) {
            arr[0] = 1;
            return;
        }
        int half = (len + 1) >> 1;                  // 生成 len 长度数组，需要长度至少为一半的"基"数组
        f(arr, half);                               // 如 len = 5，需要先递归生成 len = 3 的
        for (int i = 0; i < half; i++) {            // 将上次递归结果扩大一倍，但是到 len 截止
            // 左边的长度总是 >= 右边，但是差距不超过 1
            if (i + half < len) {
                arr[i + half] = arr[i] << 1;        // f2 = 2i，这句必须放前面，因为之后会修改 arr[i]
            }
            arr[i] = (arr[i] << 1) - 1;             // f1 = 2i - 1
        }
    }
}

举例：生成长度 11 的数组

• len = 11，目前没有基数组，所以需要对 len 折半递归，至少需要长度 6 的基数组
  • len = 6，还是没有基数组，折半递归
    • len = 3，折半
      • len = 2
        • len = 1，填入基数组 arr[0] = 1，返回上级递归
      • 根据映射规则 [1] 生成 [1,2]，返回上级
    • [1,2] 生成 [1,3,2,4]，但是 len = 3，因此只要前三项 [1,3,2]
  • [1,3,2] 生成 [1,5,3,2,6,4]
• [1,5,3,2,6,4] 只保留前 11 项，最终得到 [1,9,5,3,11,7,2,10,6,4,12]