leetCode-342. 4的幂给定一个整数，写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，

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题目描述

给定一个整数，写一个函数来判断它是否是 4 的幂次方。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。

整数 n 是 4 的幂次方需满足：存在整数 x 使得n == 4^x

示例 1：输入：n = 16 输出：true

示例 2：输入：n = 5 输出：false

示例 3：输入：n = 1 输出：true 提示： -2^{31} <= n <= 2^{31} - 1 进阶：你能不使用循环或者递归来完成本题吗？

题解

思路一

利用递归不停的除4，看最后商是否为1,代码如下

 func isPowerOfFour(_ n: Int) -> Bool {
    if n < 1 {
        return false
    }
    if n == 1 {
        return true
    }
    if n % 4 == 0 {
        return isPowerOfFour(n / 4)
    } else {
        return false
    }
}

思路二

4^x = 2^{2^x} = 2^{2x} 可证明一个数是若是4的x冥，那它一定是2的冥。

首先看2的冥二进制数的规律，2^0 = 1,即首位为1，其他位为0，而每右移一位，相等于乘于2，因此2^x即第x位为1，其他位皆为0，而2^x - 1则是第x位为0，其他位皆为1.

由此可得出。如果一个数n大于零，并且n & (n - 1) == 0,则n是2的冥。

接下来看4的冥二进制数的规律4^0 = 1,即首位为1，其他位为0，而每右移两位，相等于乘于4，因此4^x即第2x（偶数）位为1，其他位皆为0，我们可以构造一个奇数为都为1的mask0xaaaaaaaa与它相&。

由此可得出。如果一个数n大于零，并且n && (n - 1) == 0 && n & 0xaaaaaaaa == 0,则n是4的冥，代码如下

func isPowerOfFour(_ n: Int) -> Bool {
    return n > 0 &&  n & (n - 1) == 0  && n & 0xaaaaaaaa == 0
}

思路三

有上面可知一个数是若是4的x冥，那它一定是2的冥。而把2的冥换成4的冥的话，可得如下2种情况。

2^n=\left\{ \begin{array}{lr} 4^{\frac{n}{2}}& & & n \% 2 == 0 \\ 4^{\frac{n - 1}{2}} * 2& & & n \% 2 == 1 \\ \end{array} \right.

有上面的公式可得出，如果一个数，若是2的冥，他要么是4的冥，要么是4的冥的2倍。先暂时记住这个结论。

再继续之前，先介绍一下二项式定理。

(a+b)^n = \binom {n}{0}a^n*b^0 + \binom n1 a^{n-1}*b^1 + \binom n2 a^{n-2}*b^2 + ... + \binom n{n-1} a^1*b^{n-1} + \binom nn a^0*b^n

其中每个 ${\tbinom {n}{k}}$ 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于 ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。因此4的冥展开如下：

4^n \\ = (3+1)^n = \binom {n}{0}3^n*1^0 + \binom n1 3^{n-1}*1^1 + \binom n2 3^{n-2}*1^2 + ... + \binom n{n-1} 3^1*1^{n-1} + \binom nn 3^0*1^n

4的冥对3求进行相除

4^n / 3 \\ = (3+1)^n / 3 \\ = (\binom {n}{0}3^n*1^0 + \binom n1 3^{n-1}*1^1 + \binom n2 3^{n-2}*1^2 + ... + \binom {n}{n-1}3^1 * 1^{n-1} + \binom nn 3^0 * 1^n ) / 3 \\ = (\binom {n}{0}3^n + \binom n1 3^{n-1} + \binom n2 3^{n-2} + ... + \binom {n}{n-1}3^1 + \binom nn 3^0 ) / 3 \\ = (\binom {n}{0}3^{n - 1} + \binom n1 3^{n-2} + \binom n2 3^{n-3} + ... + \binom {n}{n-1}3^0) \cdots\cdots 1

有上可得出4的冥对3求余一定为1，同理也可得出4^n * 2对3求余一定为2.

由上面两个结论可以得出：若一个数是2的冥，并且对3求余为1，那么则这个数为4的冥，代码如下

func isPowerOfFour(_ n: Int) -> Bool {
    return n > 0 &&  n & (n - 1) == 0  && n % 3 == 1
}