图论

AntCao404
244 阅读12分钟

由点(vertex)\left(vertex\right)和连接点的边(edge)\left(edge\right)组成，图是点和边构成的网。描述了事物之间的连接。最典型的应用场景就是地图。

图的算法复杂度如果是成线性的O(V+E)O(V + E)几乎是最好的程度。 如果能达到O(VlogE),O(ElogV)O(VlogE),O(ElogV),则也是很好的算法 如果是O(E2),O(V2)O(E^2),O(V^2)或者更高，则不是很好的算法

图和树的存储

邻接矩阵

存储方式

二维数组：int graph[NUM][NUM]int\ graph\left[NUM\right]\left[NUM\right];

无向图：graph[i][j] == graph[j][i]graph\left[i\right]\left[j\right]\ ==\ graph\left[j\right]\left[i\right];

有向图：graph[i][j] != graph[j][i]graph\left[i\right]\left[j\right]\ !=\ graph\left[j\right]\left[i\right];

权值：graph[i][j]graph\left[i\right]\left[j\right]存放点ii到jj的边的权值，用graph[i][j] = INF graph\left[i\right]\left[j\right]\ =\ INF\ 表示ii和jj直接无边

优点

适合稠密图，编码非常简短，对存储、查询、更新等操作快捷。

缺点

  1. 存储的复杂度太高O(V2)O(V^2)太高。如果用来存储比较稀疏的图，大量空间会被浪费。当V = 10 000V\ =\ 10\ 000个结点时，空间为100MB100MB，会超过很多题目的空间限制。
  2. 不能存储重边。(u, v)(u,\ v)之间可能会有多条边，这些边可能权值不同，所以是不能合并的。有向边(u, v)(u,\ v)在矩阵中只能存储一个参数，矩阵本身的局限让它不能存储重边。

邻接表

规模大的稀疏图一半用邻接表存储。

优点

存储效率高，只需要与边数成正比的空间，存储复杂度O(V + E)O(V\ +\ E)，几乎达到了最优的复杂度，而且能存储重边

缺点

编程比邻接矩阵麻烦，访问和修改要慢一些。

// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;

// 添加一条边a->b
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);

图和树的遍历

时间复杂度O(n+m)O(n + m)，nn表示点数，mm表示边数

深度优先遍历(DFS)

int dfs(int u)
{
    st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过

    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) dfs(j);
    }
}

题目大意

给定一颗树，树中包含n个结点（编号1~n）和n-1条无向边。

请你找到树的重心，并输出将重心删除后，剩余各个连通块中点数的最大值。

重心定义：重心是指树中的一个结点，如果将这个点删除后，剩余各个连通块中点数的最大值最小，那么这个节点被称为树的重心。

9
1 2
1 7
1 4
2 8
2 5
4 3 
3 9
4 6

存储格式

树的重心的存储图

代码

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010, M = N * 2;
int n;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
bool st[N];
int ans = INT_MAX;

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// 以u为根的子树中 点的个数
int dfs(int u) {
    // 标记已经访问过了
    st[u] = true;
    // sum 统计 以 u 为结点 子树中的个数 包括其本身 方便后面计算 u节点上面联通块的大小
    // res 记录删掉这个节点之后 每一个联通块 的最大值
    int sum = 1, res = 0;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!st[j]) {
            // 每一个联通块 结点的个数
            int s = dfs(j);
            res = max(res, s);
            sum += s;
        }
    }
    res = max(res, n - sum);
    ans = min(ans, res);
    return sum;
}


int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
        add(b, a);
    }
    dfs(n);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

宽度优先遍历(BFS)

queue<int> q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);

while (q.size())
{
    int t = q.front();
    q.pop();

    for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
            q.push(j);
        }
    }
}

题目大意 给定一个nn个点mm条边的有向图，图中可能存在重边和自环。

所有边的长度都是11，点的编号为[1,n][1,n]。

请你求出11号点到nn号点的最短距离，如果从11号点无法走到nn号点，输出−1-1。

输入格式 第一行包含两个整数nn和mm。

接下来mm行，每行包含两个整数aa和bb，表示存在一条从aa走到bb的长度为11的边。

输出格式 输出一个整数，表示11号点到nn号点的最短距离。

数据范围 1≤n,m≤1051≤n,m≤10^5

输入样例

4 5
1 2
2 3
3 4
1 3
1 4

输出样例

1

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx; 
bool st[N];
queue<int> q;

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int bfs() {
    // 将起点添加进队列
    q.push(1);
    st[1] = true;
    //返回值
    int ans = 0;
    while (!q.empty()) {
        // 每次层的长度
        int len = q.size();
        // 遍历这一层的所有结点
        for (int k = 0; k < len; k++) {
            int t = q.front(); q.pop();
            if (t == n) return ans;
            // 将每一个点的子节点添加到下一层遍历的队列中
            for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
                // j 为这个结点
                int j = e[i];
                // 如果没有添加过 添加进去
                if (!st[j]) {
                    st[j] = true;
                    q.push(j);
                }
            }
        }
        ans++;
    }
    return -1;
}

int main() {
    idx = 0;
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
   
    cout << bfs() << endl;
    return 0;
}

图的拓扑排序

只适用于有向无环图

topo

对其排序的结果就是：2 -> 8 -> 0 -> 3 -> 7 -> 1 -> 5 -> 6 -> 9 -> 4 -> 11 -> 10 -> 12 思路 用队列来执行，初始化所有入度为00的顶点入队

主要由以下两步循环执行，直到不存在入度为00的顶点为止

  1. 选择一个入度为00的顶点，并将它输出；
  2. 删除图中从顶点连出的所有边

判断：循环结束后，如果输出的顶点数小于图中的顶点数，则表示该图存在回来，即无法拓扑排序。否则，输出的就是拓扑排序（不唯一）

时间复杂度 O(n+m)O(n+m)，nn 表示点数，mm 表示边数

模板

bool topsort()
{
    // 数组模拟队列 
    // hh为头指针 tt为尾指针
    int hh = 0, tt = -1;

    // d[i] 存储点i的入度
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (!d[i])
            q[ ++ tt] = i;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (-- d[j] == 0)
                q[ ++ tt] = j;
        }
    }

    // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
    return tt == n - 1;
}

题目大意 给定一个nn个点mm条边的有向图，点的编号是11到nn，图中可能存在重边和自环。

请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出−1-1。

若一个由图中所有点构成的序列AA满足：对于图中的每条边(x,y)(x, y)，xx在AA中都出现在yy之前，则称AA是该图的一个拓扑序列。

输入格式 第一行包含两个整数nn和mm

接下来mm行，每行包含两个整数xx和yy，表示存在一条从点xx到点yy的有向边(x,y)(x, y)。

输出格式 共一行，如果存在拓扑序列，则输出拓扑序列。

否则输出−1-1。

数据范围 1≤n,m≤1051≤n,m≤10^5

输入样例

3 3
1 2
2 3
1 3

输出样例

1 2 3

代码

// 拓扑排序 有向无环图
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int h[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表
int q[N], d[N]; // q 数组模拟队列 ， d记录度

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// 拓扑排序
bool topsort() {
    // hh为队头 tt为队尾
    int hh = 0, tt = -1;
    // 将度为0的点全部添加到
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!d[i])
            q[++tt] = i;
    }
    // bfs遍历 入队之后 就是我们需要求的拓扑序列
    while (hh <= tt) {
        // 获取对首的 值
        int t = q[hh ++];
        // 枚举t 的所有出边
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            d[j] --;
            if (d[j] == 0) q[++ tt] = j;
        }
    }
    return tt == n - 1;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
        d[b]++;
    }

    if (topsort()) {
        for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", q[i]);
        puts("");
    } else {
        puts("-1");
    }

    return 0;
}

图的最短路问题

37ff39642fd8f74476ddcd99944d1b4.png

单源最短路问题

Dijkstra只能计算正权边的最短路

Dijkstra(朴素版)

Dijkstra

常用于稠密图，用邻接矩阵存储 时间复杂是 O(n2+m)O(n^2+m)，nn 表示点数，mm 表示边数

int g[N][N];  // 存储每条边
int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定

// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
    {
        int t = -1;     // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        // 用t更新其他点的距离
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);

        st[t] = true;
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

实例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510; // edge number;

int g[N][N]; // 邻接表
int dist[N]; // 源点到各个点的 最小值
bool st[N]; // 标记是否找到最短路径

// 遍历所有的点
int Dijkstra() {
    // 初始化所有点的距离为正无穷,起始点的距离为0
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    
    dist[1] = 0;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
        int t = -1; // 不在s中的，距离最近的点
        for (int j = 1; j <= n; j++) 
            // !st[j]表示当前点还没确定最短路
            // 在st[j] == false的点中 找到一个 dist距离最短的点（源点）进行延伸
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) 
                t = j;
        // 把st这个点标志为已经是 起点1 到 某一个点的最短距离
        st[t] = true; 
        
        // 更新 这个源点到其他点的最短值
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
    }
    
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    // 邻接矩阵的初始化
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    
    while (m -- ) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        // 去掉自环 和 多源路线的最小值
        g[a][b] = min(g[a][b], c);
    }

    int t = Dijkstra();
    
    printf("%d", t);
    
    return 0;
}

Dijkstra(堆优化版)

常用于稀疏图，用邻接表存储 时间复杂度 O(mlogn)O(mlogn)，nn 表示点数，mm 表示边数

typedef pair<int, int> PII;

int n;      // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定

// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号

    while (heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();

        int ver = t.second, distance = t.first;

        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;

        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

Bellman-Ford

时间复杂度 O(nm)O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离

struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
    int a, b, w;
}edges[M];

// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        for (int j = 0; j < m; j ++ )
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            if (dist[b] > dist[a] + w)
                dist[b] = dist[a] + w;
        }
    }

    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

题目

给定一个 nn 个点 mm 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 11 号点到 nn 号点的最多经过 kk 条边的最短距离，如果无法从 11 号点走到 nn 号点，输出 impossibleimpossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,kn,m,k。

接下来 mm 行，每行包含三个整数 x,y,zx,y,z，表示存在一条从点 xx 到点 yy 的有向边，边长为 zz。

输出格式

输出一个整数，表示从 11 号点到 nn 号点的最多经过 kk 条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossibleimpossible。

数据范围

1≤n,k≤5001≤n,k≤500 1≤m≤100001≤m≤10000 任意边长的绝对值不超过 1000010000。

输入样例

3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3

输出样例

3

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 510, M = 1e4 + 10;

int m, n, k;
int dist[N], backup[N]; // backup 存储上次 dist数组的值 保证不会被 可传递所影响

struct Edge{
    int a, b, w;
}edges[M];

int bellman_ford() {
    // 初始化最正无穷
    memset(dist, 0x3f3f3f3f, sizeof dist);
    // 初始化源点的距离为0
    dist[1] = 0;
    
    // 循环k次表示，从源点走 不超过 k条边的最短距离
    for (int i = 0; i < k; i ++) {
        // 每次需要备份上次dist数组
        memcpy(backup, dist, sizeof dist);
        // 遍历所有边
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            // 更新所有边
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);
        }
    }
    
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    }
    int t = bellman_ford();
    if (t == -1) printf("impossible");
    else printf("%d\n", t);
    return 0;
}

SPFA(队列优化的Bellman-Ford算法)

时间复杂度 平均情况下 O(m)O(m)，最坏情况下 O(nm)O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数

int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N];        // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;

    queue<int> q;
    q.push(1);
    st[1] = true;

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}

十二届蓝桥杯B组省赛E题

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N;

int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], dist[N];
bool st[N];
int n;

int gcd(int a, int b)  // 欧几里得算法
{
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int lcm(int a, int b) {
    return a * b / gcd(a, b);
}

void add(int a, int b, int c)  // 添加一条边a->b，边权为c
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}


int spfa()  // 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
{
    int hh = 0, tt = 0;
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    dist[1] = 0;
    q[tt ++ ] = 1;
    st[1] = true;

    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;
        
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
                {
                    q[tt ++ ] = j;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
}


int main()
{
    n = 2021;
    memset(h, -1, sizeof h);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = max(1, i - 21); j <= min(n, i + 21); j++) {
            int t = lcm(i, j);
            add(i, j, t);
        }
    }
    
    cout << spfa() << endl; // 10266837
    return 0;
	
}

SPFA判断图中是否存在负环

时间复杂度是 O(nm)O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数


int n;      // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N];        // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中

// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
    // 不需要初始化dist数组
    // 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。

    queue<int> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }

    while (q.size())
    {
        auto t = q.front();
        q.pop();

        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;       // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
                if (!st[j])
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    return false;
}

多源汇最短路问题

Floyd - 动态规划

// 初始化：
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
  for (int j = 1; j <= n; j ++ )
      if (i == j) d[i][j] = 0;
      else d[i][j] = INF;

// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k ++ )
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

题目

给定一个nn个点mm条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。

再给定kk个询问，每个询问包含两个整数xx和yy，表示查询从点xx到点yy的最短距离，如果路径不存在，则输出“impossibleimpossible”。

数据保证图中不存在负权回路。

输入格式

第一行包含三个整数n，m，kn，m，k

接下来m行，每行包含三个整数x，y，zx，y，z，表示点x和点y之间存在一条有向边，边长为zz。

接下来k行，每行包含两个整数x，yx，y，表示询问点xx到点yy的最短距离。

输出格式

共k行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出“impossibleimpossible”。

数据范围

1≤n≤2001≤n≤200 1≤k≤n21≤k≤n^2 1≤m≤200001≤m≤20000 图中涉及边长绝对值均不超过1000010000。

输入样例

3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3

输出样例

impossible
1

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510, INF = 1e9;
int n, m, Q;
int d[N][N];

void floyd()
{
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &Q);

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (i == j)
                d[i][j] = 0;
            else
                d[i][j] = INF;
        }
    }

    while (m--)
    {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        d[a][b] = min(d[a][b], w);
    }

    floyd();

    while (Q--)
    {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        if (d[a][b] > INF / 2)
            puts("impossible");
        else
            cout << d[a][b] << endl;
    }

    return 0;
}

总结

Dijkstra-朴素O(n2)O(n^2)

初始化距离数组, dist[1] = 0, dist[i] = inf;
for n次循环 每次循环确定一个min加入S集合中，n次之后就得出所有的最短距离
将不在S中dist_min的点->t
t->S加入最短路集合
用t更新到其他点的距离

Dijkstra-堆优化O(mlogm)O(mlogm)

利用邻接表，优先队列
在priority_queue[HTML_REMOVED], greater[HTML_REMOVED] > heap;中将返回堆顶
利用堆顶来更新其他点，并加入堆中类似宽搜

Bellman_fordO(nm)O(nm)

注意连锁想象需要备份, struct Edge{inta,b,c} Edge[M];
初始化dist, 松弛dist[x.b] = min(dist[x.b], backup[x.a]+x.w);
松弛k次，每次访问m条边

Spfa [O(n), O(nm)][O(n),\ O(nm)]

利用队列优化仅加入修改过的地方
for k次
for 所有边利用宽搜模型去优化bellman_ford算法
更新队列中当前点的所有出边

Floyd O(n3)O(n^3)

初始化d
k, i, j 去更新d

图的最小生成树

Prim(朴素版)

时间复杂度是 O(n2+m)O(n^2+m), nn 表示点数，mm 表示边数

int n;      // n表示点数
int g[N][N];        // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N];        // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N];     // 存储每个点是否已经在生成树中


// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j ++ )
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;

        if (i && dist[t] == INF) return INF;

        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;

        for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
    }

    return res;
}

题目 给定一个 nn 个点 mm 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossibleimpossible。

给定一张边带权的无向图 G=(V,E)G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=∣V∣，m=∣E∣n=|V|，m=|E|。

由 VV 中的全部 nn 个顶点和 EE 中 n−1n−1 条边构成的无向连通子图被称为 GG的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 GG 的最小生成树。 思想 在nn次循环中，每次从非集合元素中选取到集合最短距离的点tt, 将tt加入集合中，使用tt更新其他到集合的最短距离，以此反复

4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
  1. 初始化所有到集合的距离 dist=INFdist = INF
  2. 起始情况，选择节点11，加入集合中，根据节点11更新其他节点的最短距离，此时集合{1}\{1\}
  3. 在非集合中选择元素，此时选择节点22（因为节点22到集合的距离最短），加入集合中，根据节点22更新其他节点的最短距离，此是集合{1，2}\{1， 2\}
// prime 算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];

int prim() {
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);

    int res = 0;
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j;
        }

        if (i != 0 && dist[t] == INF) return INF;
        if (i != 0) res += dist[t];

        for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        st[t] = true;
    }
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    memset(g, 0x3f, sizeof g);

    while (m -- ) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    int t = prim();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else cout << t << endl;

    return 0;
}

Kruskal

核心是并查集 时间复杂度是 O(mlogm)O(mlogm)，nn 表示点数，mm 表示边数 模板

int n, m;       // n是点数，m是边数
int p[N];       // 并查集的父节点数组

struct Edge     // 存储边
{
    int a, b, w;

    bool operator< (const Edge &W)const
    {
        return w < W.w;
    }
}edges[M];

int find(int x)     // 并查集核心操作
{
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int kruskal()
{
    sort(edges, edges + m);

    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i ++ )
    {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
        {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt ++ ;
        }
    }

    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

// 克鲁斯卡尔Kruskal算法
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

int m, n;
int p[N];

struct Edge{
    int a, b, w;
}edges[N];

int find(int x) {
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

bool cmp(const Edge& e1, const Edge& e2) {
    return e1.w < e2.w;
}

int kruskal() {
    sort(edges, edges + m, cmp);

    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;

    int res = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;

        a = find(a), b = find(b);
        if (a != b) {
            p[a] = b;
            res += w;
            cnt++;
        }
    }
    
    if (cnt < n - 1) return INF;
    return res;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, w;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
        edges[i] = {a, b, w};
    } 
    
    int t = kruskal();

    if (t == INF) puts("impossible");
    else printf("%d\n", t);

    return 0;
}

染色法判断二分图

时间复杂度是 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数

int n;      // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储图
int color[N];       // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色

// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c)
{
    color[u] = c;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (color[j] == -1)
        {
            if (!dfs(j, !c)) return false;
        }
        else if (color[j] == c) return false;
    }

    return true;
}

bool check()
{
    memset(color, -1, sizeof color);
    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (color[i] == -1)
            if (!dfs(i, 0))
            {
                flag = false;
                break;
            }
    return flag;
}

题目

定一个nn个点mm条边的无向图，图中可能存在重边和自环。请你判断这个图是否是二分图。

输入格式

第一行包含两个整数nn和mm。

接下来mm行，每行包含两个整数uu和vv，表示点uu和点vv之间存在一条边。

输出格式

如果给定图是二分图，则输出“YesYes”，否则输出“NoNo”。

// 染色法判断二分图
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N;

int m, n;
int e[M], ne[M], h[N], idx;
int color[N];

void add(int a, int b) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

bool dfs(int u, int c) {
    color[u] = c;
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!color[j]) {
            if (!dfs(j, 3 - c)) return false;
        } else if (color[j] == c) return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    
    memset(h, -1, sizeof h);

    scanf("%d%d", &n, &m);

    while (m -- ) {
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        add(a, b);
        add(b, a);
    }

    bool flag = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (!color[i]) {
            if (!dfs(i, 1)) {
                flag = false;
                break;
            }
        }
    }
    if (flag) puts("Yes");
    else puts("No");
    
    return 0;
}

匈牙利算法

时间复杂度是 O(nm)O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数

int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过

bool find(int x)
{
    for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (!st[j])
        {
            st[j] = true;
            if (match[j] == 0 || find(match[j]))
            {
                match[j] = x;
                return true;
            }
        }
    }

    return false;
}

// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
    memset(st, false, sizeof st);
    if (find(i)) res ++ ;
}
avatar
文章
阅读
粉丝