数学基础系列：集合与数

本文旨在整理一些集合论中的基础概念与定理，主要出处见参考文献。

本文只列出特别简单的证明，略去复杂的证明。

1 集合论基础

首先，我们介绍Cartesian product（笛卡尔积、直积）$A\times B$，就是从$A$中、$B$中各取一个元素组成的有序数对。如果是$n$个集合，它们的Cartesian product就是一个$n$-tuples：

所谓Relation（关系），是$A\times A$的任一子集，就叫a relation $R$ on set $A$。如果$(x,y)\in R$，则可写为$xRy$。$R$可能的性质有：

• Reflexive（自反性）：$xRx$；
• Symmetric（对称性）：若$xRy$则必有$yRx$；
• Antisymmetric（反对称）：若$xRy$且$yRx$，则必有$x=y$；
• Transitive（传递性）：若$xRy$且$yRz$，则必有$xRz$。

Equivalence relation（等价关系），就是自反、对称、传递的关系。

给定$A$上的一个equivalence relation $R$，那么$A$中的元素$x$的equivalence class（等价类），就是集合$E_x = \{y\in A:xRy\}$。若$E_x$和$E_y$是$x$和$y$的等价类，那么必有$E_x\cap E_y=\empty$或$E_x=E_y$。

自反、反对称、传递的relation，就叫partial ordering（偏序），可以用符号$\geq$或$\leq$表示。对于任意partial ordering，如果将其中的$(x,x)$元素剔除，就变成了strict ordering，用符号$\gt$或$\lt$表示，这种relation不再是自反的和反对称的，但依旧有传递性。如果对于集合$A$，每一对$(x,y)\in A\times A$都满足$x\lt y$、$x\gt y$或$x=y$这三种中的一种，那么称$A$是linearly ordered。再进一步，定义集合$A$的最小元素为$a\in A$，它满足$\forall x\in A, a\leq x$（最大元素可类似定义），那么，如果linearly ordered$A$的每一个子集都有一个最小元素，则称$A$是well-ordered。

一个mapping/transformation/function定义为$T:X\mapsto Y$，这是一种将$X$中的每个元素与$Y$中唯一一个元素联系起来的规则。$X$称为domain（定义域），$Y$为codomain（到达域），集合$G_T=\{(x,y):x\in X,y=T(x)\}\subseteq X\times Y$称为graph of $T$。集合$T(A)=\{T(x):x\in A\}\subseteq Y$称为$A$在$T$下的image，对于$B\subseteq Y$，集合$T^{-1}(B)=\{x:T(x) \in B\}\subseteq X$称为$B$在$T$下的inverse image。集合$T(X)$称为$T$的range（值域），若$T(X)=Y$则称该mapping为from $X$ onto $Y$，中文叫满射，否则是into $Y$。若每个$y$都是唯一的$x\in X$的image，则该mapping是one-to-one，或记为$1$-$1$，中文叫单射。

当$X$中的每个元素与$Y$中不一定唯一的元素对应起来的规则，称为correspendence，$T^{-1}$就是一个correspendence，但未必是mapping。若mapping是$1$-$1$且是onto的，则称该mapping为one-to-one correspendence。如果在$X$和$Y$上都定义了partial ordering，那么如果对于一个mapping，$T(x_1)\leq T(x_2)$当且仅当$x_1\leq x_2$，就称该mapping为order-preserving。若$X$是partial ordered，用$\leq$表示，那么一个$1$-$1$ mapping可以**induce（诱导）**在codomain上的一个partial ordering。若这个mapping还是onto，那么$X$上的linear ordering可以induce一个$Y$上的linear ordering。

集合中的元素个数称为集合的cardinality或cardinal number（基数）。若$A$与$B$之间存在$1$-$1$ correspondence，那么两个集合equipotent（等势）。

2 可数集合

将正自然数集合$N^+$的cardinal number记为$\aleph$。如果一个无限集合中的元素，与$N^+$中的元素存在$1-1$ correspondence，那么称该集合为countable或denumerable（可数的）。

整数集$Z$是可数的，因为对于任意$n\in N^+$，让它对应于$\lfloor n/2\rfloor (-1)^n\in Z$即可。

定理：有理数集$Q$可数。

定理：The union of a countable collection of countable sets is a countable set.

注：Collection有的地方翻译为“搜集”，可理解为允许有重复元素的集合。

3 实数连续统

定理：实数集$R$是不可数的。

记$R$的cardinal number为$c$，则有$\aleph<c$。

定理：任意开区间不可数。

定理：任意开区间与$R$是equipotent的。

对于开区间$(a,b)$，将任意$x\in R$映射为$y=\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{(b-a)x}{2(1+|x|)}$可证。

定理：实数平面$R^2=R\times R$与$R$是equipotent的。

定理：任意开区间都包含至少一个有理数。

对于开区间$(a,b)$，不妨假设$a\geq 0$，取$q$为比$1/(b-a)$大的最小整数，取$p$为比$qb$大的最小整数，则必有$(p-1)/q \in (a,b)$，而$(p-1)/q \in Q$。

推论：Every collection of disjoint open intervals is countable.

因为每个开区间都至少包含一个有理数，这些不相连的开区间的collection可用其中每个开区间中的任一有理数建立对应关系，而有理数集是可数的。

下面再介绍一些有关集合的定义。集合$A\subset R$的supremum，如果存在，就是对于任意$x\in A$都满足$x\leq y$的最小的$y$，可写为$\sup A$；反之可定义集合$A$的infimum，写为$\inf A$。对于$R$的某个子集，如果有上界，必有supremum，如果有下界，必有infimum。若定义extended real line $\bar R=R\cup \{-\infty,+\infty\}$（即将无穷大也看作一个元素），那么所有集合都有supremum和infimum。另外记$\bar R^+=R\cup\{+\infty\}$。

4 集合的序列

Monotone sequence（单调序列）就是non-decreasing（指$\forall n, A_n\subseteq A_{n+1}$）或non-increasing指$\forall n, A_{n}\supseteq A_{n+1}$）的序列，也有严格的单调序列，即将包含关系换成严格包含关系$\subset$和$\supset$。

序列的limit（极限）$A$，就是对于non-decreasing序列的$A=\cup_{n=1}^{\infty}A_n$，或对于non-increasing序列的$A=\cap_{n=1}^{\infty}A_n$，分别可写为$A_n\uparrow A$和$A_n\downarrow A$，或一般地，$\lim\limits_{n\to\infty}A_n = A$，或$A_n\to A$。

对于任意集合序列$\{A_n\}$，集合$B_n=\cup_{m=n}^{\infty}A_m$必为non-increasing序列，因此$B=\lim\limits_{n\to\infty}B_n$存在，称它为$\{A_n\}$的superior limit，写为$\limsup_n A_n$。反之，non-decreasing序列$C_n=\cap_{m=n}^{\infty}A_m$的极限$C$，就是$\{A_n\}$的inferior limit，写为$\liminf_n A_n$。正式定义为

由De Morgan' s laws，$\liminf_n A_n = \left(\limsup_n A_n^c \right)^c$。

$\limsup_n A_n$其实就是infinitely many（无穷多）个$A_n$中都含有的元素的集合，$\liminf_n A_n$就是all but a finite number（除有限）个$A_n$外，其他$A_n$中都含有的元素的集合。

以上概念提供了一种集合序列的收敛准则：$\liminf_n A_n\subseteq \limsup_n A_n$，若两个集合不相等，则说明$\{A_n\}$不收敛。

5 子集的类

所有$X$的子集的集合成为$X$的power set（幂集），记为$2^X$。对于一个countable set，认为它的power set有$2^\aleph$个元素。

定理：$2^\aleph = c$。

接下来，要研究的是给定集合的子集的一些性质。Power set一般对研究的问题来说会显得太大了，以下的一系列定义，目的是要定义出$2^X$的某个子集，使得该子集对于研究的问题来说足够大，而其性质又让我们可以容易地处理。一般方法是，先选出一些已知性质的集合，组成一个基本的collection，再用一些特定操作，创造出新的集合加入其中。

定义 Ring（环）：由集合$X$的子集组成的非空类（nonempty class）$\mathscr{R}$，若满足如下性质则为ring：

• $\empty\in\mathscr{R}$；
• 若$A\in\mathscr{R}$且$B\in\mathscr{R}$，则$A\cup B\in \mathscr{R}$，$A\cap B\in \mathscr{R}$，$A- B\in \mathscr{R}$。

Ring对于union、intersection、difference的操作是closed（闭的）。但ring中不一定含有全集$X$自身，若加入$X$，就成了field（或algebra）定义：

定义 Field（域）：由$X$的子集组成的class$\mathscr{F}$，若满足如下性质则为field：

• $X\in\mathscr{F}$；
• 若$A\in\mathscr{F}$，则$A^c\in\mathscr{F}$；
• 若$A\in\mathscr{F}$且$B\in\mathscr{F}$，则$A\cup B\in \mathscr{F}$。

如果给定了一个collection$\mathscr{C}$，将它理解为“种子”，去生成field，那么称最小的含有$\mathscr{C}$的field为field generated by $\mathscr{C}$。

Ring和field的概念在概率论中应用起来还是会有些限制，因此引入以下定义：

定义 Semi-ring：由集合$X$的子集组成的非空类（nonempty class）$\mathscr{S}$，若满足如下性质则为semi-ring：

• $\empty\in\mathscr{S}$；
• 若$A\in\mathscr{S}$且$B\in\mathscr{S}$，则$A\cap B\in \mathscr{S}$；
• 若$A\in\mathscr{S}$、$B\in\mathscr{S}$且$A \subseteq B$，则$\exist n\lt \infty$，使得$B-A=\cup_{j=1}^{n} C_j$，其中$C_j\in\mathscr{S}$且对于$j\neq j'$来说$C_j\cap C_{j'}=\empty$。

其中的第三个性质，简单来说就是$\mathscr{S}$中任意两个集合的的差，可以分解为有限个$\mathscr{S}$中集合的union。

再在semi-ring中加入$X$自身，就变成了semi-algebra。

6 Sigma fields

上一节说到field对complement和finite union的操作是closed，我们接着将它的finite union操作扩展到极限处，这就有了如下概念。

定义 $\sigma$-field（sigma-algebra）：由$X$的子集组成的class$\mathscr{F}$，若满足如下性质则为sigma-field：

• $X\in\mathscr{F}$；
• 若$A\in\mathscr{F}$，则$A^c\in\mathscr{F}$；
• 若$\{A_n,n\in N^+\}$为$\mathscr{F}$中的集合的序列，则$\cup_{n=1}^{\infty} A_n\in \mathscr{F}$。

$\sigma$-field对于complement和countable union是closed。若给定一个collection$\mathscr{C}$，所有含有$\mathscr{C}$的$\sigma$-field的交集，就叫$\sigma$-field generated by $\mathscr{C}$，可记为$\sigma(\mathscr{C})$。

定理：若$\mathscr{C}$是一个finite collection，则$\sigma(\mathscr{C})$也是finite，否则$\sigma(\mathscr{C})$总是uncountable。

若取$X=R$，$\mathscr{C}=\{(-\infty,r]: r\in Q\}$，则$\sigma(\mathscr{C})$就叫Borel field of $R$，一般可记为$\mathscr{B}$。许多不同的collection都可以生成出$\mathscr{B}$。若给定一个实区间$I$，则$\mathscr{B}_I = \{B\cap I: B\in\mathscr{B}\}$称为the restnctlon of $\mathscr{B}$ to $I$，或Borel field on $I$。事实上，$\mathscr{B}_I$可由$\mathscr{C}=\{(-\infty,r]\cap I: r\in Q\}$生成。

对于两个$\sigma$-field的union不一定是$\sigma$-field，将最小的包含了两个$\sigma$-field$\mathscr{F}$和$\mathscr{G}$中所有元素的$\sigma$-field记为$\mathscr{F}\vee\mathscr{G}$。但对于两个$\sigma$-field的intersection$\mathscr{F}\cap\mathscr{G}=\{A:A\in \mathscr{F} \quad\text{and} \quad A \in\mathscr{G}\}$，它必定是$\sigma$-field，为了统一符号，可以写为$\mathscr{F}\wedge\mathscr{G}$，它就是保证元素同时属于$\mathscr{F}$和$\mathscr{G}$的最大的$\sigma$-field。这两个概念都可以推广到可数多个的情形。

概率论和测度论中，大量的工作都是在证明某个class of sets是$\sigma$-field。对于证明来说，$\sigma$-field定义中的三条性质，前两条都很容易验证，但最后一条要验证却很困难。为此我们定义一种monotone class（单调类）$\mathscr{M}$，它也是由一些集合组成：若$\{A_n\}$是monotone sequence，有极限$A$，且$\forall n, A_n\in\mathscr{M}$，则$A\in \mathscr{M}$，称这样的$\mathscr{M}$为monotone class。利用它和下面的定理，可以方便地证明一些class是$\sigma$-field。

定理：$\mathscr{F}$是$\sigma$-field，当且仅当$\mathscr{F}$是field且它是一个monotone class。

利用这个定理，在考虑一个class是不是$\sigma$-field时，我们只需要考虑monotone sequences的极限是否属于它即可。

另一个常用的技巧是Dynkin's $\pi$-$\lambda$ Theorem。对此需要先介绍两个概念做铺垫。

定义 $\pi$-system：有一个class$\mathscr{P}$，若$A\in\mathscr{P}$且$B\in\mathscr{P}$，则$A\cap B \in \mathscr{P}$，那么$\mathscr{P}$就是$\pi$-system。

定义 $\lambda$-system：有一个class$\mathscr{L}$，若它满足以下性质，那么$\mathscr{L}$就是$\lambda$-system：

• $X\in \mathscr{L}$；
• 若$A\in\mathscr{L}$、$B\in\mathscr{L}$且$B\subseteq A$，则$A-B\in\mathscr{L}$；
• 若$\{A_n\in\mathscr{L}\}$是non-decreasing sequence，且$A_n\uparrow A$，则$A\in\mathscr{L}$。

前两个条件说的是$\lambda$-system对于complement是closed。并且由于第二条意味着$\forall n, B_n=A_{n+1}-A_n\in\mathscr{L}$，所以第三条也说明了，$\mathscr{L}$中的disjoint sets的countable union依然在$\mathscr{L}$中。利用这点，有以下定理。

定理：一个class$\mathscr{L}$是$\lambda$-system，当且仅当：

• $X\in \mathscr{L}$；
• 若$B\in\mathscr{L}$，则$B^c\in\mathscr{L}$；
• 若$\{A_n\in\mathscr{L}\}$是disjoint sequence，则$\cup_n A_n\in\mathscr{L}$。

$\sigma$-field必定是$\lambda$-system，同时是$\pi$-system和$\lambda$-system的class必定是$\sigma$-field。

下面的定理用到了这些定义。

定理 Dynkin's $\pi$-$\lambda$ Theorem：若$\mathscr{P}$是一个$\pi$-system，$\mathscr{L}$是一个$\lambda$-system，且$\mathscr{P}\subseteq \mathscr{L}$，则$\sigma(\mathscr{P})\subseteq \mathscr{L}$。

参考文献

• Davidson, J., 1994. Stochastic limit theory: An introduction for econometricians. OUP Oxford.