如何将有序矩阵与二叉搜索树联系起来｜Java 刷题打卡本文正在参加「Java主题月 - Java 刷题打卡」，详情查看

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题目描述

这是 LeetCode 上的 74. 搜索二维矩阵 ，难度为中等。

Tag : 「二叉搜索树」、「二分」

编写一个高效的算法来判断 m x n 矩阵中，是否存在一个目标值。该矩阵具有如下特性：

每行中的整数从左到右按升序排列。每行的第一个整数大于前一行的最后一个整数。

示例 1：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 3

输出：true

示例 2：

输入：matrix = [[1,3,5,7],[10,11,16,20],[23,30,34,60]], target = 13

输出：false

提示：

m == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= m, n <= 100
- $10^4$ <= matrix[i][j], target <= $10^4$

二分解法（一）

由于二维矩阵固定列的「从上到下」或者固定行的「从左到右」都是升序的。

因此我们可以使用两次二分来定位到目标位置：

第一次二分：从第 0 列中的「所有行」开始找，找到合适的行 row
第二次二分：从 row 中「所有列」开始找，找到合适的列 col

代码：

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] mat, int t) {
        int m = mat.length, n = mat[0].length;

        // 第一次二分：定位到所在行（从上往下，找到最后一个满足 mat[x]][0] <= t 的行号）
        int l = 0, r = m - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (mat[mid][0] <= t) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }

        int row = r;
        if (mat[row][0] == t) return true;
        if (mat[row][0] > t) return false;

        // 第二次二分：从所在行中定位到列（从左到右，找到最后一个满足 mat[row][x] <= t 的列号）
        l = 0; r = n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (mat[row][mid] <= t) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        int col = r;

        return mat[row][col] == t;
    }
}

时间复杂度： $O(\log{m} + \log{n})$
空间复杂度： $O(1)$

二分解法（二）

当然，因为将二维矩阵的行尾和行首连接，也具有单调性。

我们可以将「二维矩阵」当做「一维矩阵」来做。

代码：

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] mat, int t) {
        int m = mat.length, n = mat[0].length;
        int l = 0, r = m * n - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if (mat[mid / n][mid % n] <= t) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        return mat[r / n][r % n] == t;
    }
}

时间复杂度： $O(\log{(m * n)})$
空间复杂度： $O(1)$

抽象 BST 解法

我们可以将二维矩阵抽象成「以右上角为根的 BST」：

那么我们可以从根（右上角）开始搜索，如果当前的节点不等于目标值，可以按照树的搜索顺序进行：

当前节点「大于」目标值，搜索当前节点的「左子树」，也就是当前矩阵位置的「左方格子」，即 y--
当前节点「小于」目标值，搜索当前节点的「右子树」，也就是当前矩阵位置的「下方格子」，即 x++

代码：

class Solution {
    int m, n;
    public boolean searchMatrix(int[][] mat, int t) {
        m = mat.length; n = mat[0].length;
        int x = 0, y = n - 1;
        while (check(x, y) && mat[x][y] != t) {
            if (mat[x][y] > t) {
                y--;
            } else {
                x++;
            }
        }
        return check(x, y) && mat[x][y] == t;
    }
    boolean check(int x, int y) {
        return x >= 0 && x < m && y >= 0 && y < n;
    }
}

时间复杂度： $O(m+n)$
空间复杂度： $O(1)$

拓展

如果你掌握了上述解法的话，你还可以试试这题：

240. 搜索二维矩阵 II

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.74 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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