巧妙利用异或性质实现最优解|Java 刷题打卡

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1734. 解码异或后的排列 ,难度为 中等

Tag : 「数学」、「异或」

给你一个整数数组 perm ,它是前 n 个正整数的排列,且 n 是个 奇数 。

它被加密成另一个长度为 n - 1 的整数数组 encoded ,满足 encoded[i] = perm[i] XOR perm[i + 1] 。比方说,如果 perm = [1,3,2] ,那么 encoded = [2,1] 。

给你 encoded 数组,请你返回原始数组 perm 。题目保证答案存在且唯一。

示例 1:

输入:encoded = [3,1]

输出:[1,2,3]

解释:如果 perm = [1,2,3] ,那么 encoded = [1 XOR 2,2 XOR 3] = [3,1]

示例 2:

输入:encoded = [6,5,4,6]

输出:[2,4,1,5,3]

提示:

  • 3 <= n < 10510^5
  • n 是奇数。
  • encoded.length == n - 1

基本分析

我们知道异或运算有如下性质:

  1. 相同数值异或,结果为 00
  2. 任意数值与 00 进行异或,结果为数值本身
  3. 异或本身满足交换律

本题与 1720. 解码异或后的数组 的主要区别是没有给出首位元素。

因此,求得答案数组的「首位元素」或者「结尾元素」可作为本题切入点。


数学 & 模拟

我们定义答案数组为 ans[]ans[] 数组的长度为 n,且 n 为奇数。

即有 [ans[0],ans[1],ans[2],...,ans[n1]][ans[0], ans[1], ans[2], ... , ans[n - 1]]

给定的数组 encoded[] 其实是 [ans[0]ans[1],ans[1]ans[2],...,ans[n3]ans[n2],ans[n2]ans[n1]][ans[0] ⊕ ans[1], ans[1] ⊕ ans[2], ... , ans[n - 3] ⊕ ans[n - 2], ans[n - 2] ⊕ ans[n - 1]],长度为 n - 1

由于每相邻一位会出现相同的数组成员 ans[x],考虑“每隔一位”进行异或:

  1. encoded[] 的第 00 位开始,每隔一位进行异或:可得 ans[0]ans[1]...ans[n2]ans[0] ⊕ ans[1] ⊕ ... ⊕ ans[n - 2],即除了 ans[] 数组中的 ans[n1]ans[n - 1] 以外的所有异或结果。

  2. 利用 ans[] 数组是 n 个正整数的排列,我们可得 ans[0]ans[1]...ans[n2]ans[n1]ans[0] ⊕ ans[1] ⊕ ... ⊕ ans[n - 2] ⊕ ans[n - 1],即 ans[] 数组中所有元素的异或结果。

将两式进行「异或」,可得 ans[n1]ans[n - 1]

有了结尾元素后,问题变为与 1720. 解码异或后的数组 类似的模拟题。

代码:

class Solution {
    public int[] decode(int[] encoded) {
        int n = encoded.length + 1;
        int[] ans = new int[n];
        // 求得除了 ans[n - 1] 的所有异或结果
        int a = 0;
        for (int i = 0; i < n - 1; i += 2) a ^= encoded[i];
        // 求得 ans 的所有异或结果
        int b = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) b ^= i;
        // 求得 ans[n - 1] 后,从后往前做
        ans[n - 1] = a ^ b;
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
            ans[i] = encoded[i] ^ ans[i + 1];
        }
        return ans;
    }
}
  • 时间复杂度:O(n)O(n)
  • 空间复杂度:构建同等数量级的答案数组。复杂度为 O(n)O(n)

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1734 篇,系列开始于 2021/01/01,截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目,部分是有锁题,我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面,除了讲解解题思路以外,还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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