动态规划四：整数拆分

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一、题目：343.整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

• 示例：
• 输入: 10
• 输出: 36
• 解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

二、分析

确定dp数组及下标含义

dp[i]:分拆数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。

确定递推公式

对于dp[i],该如何拆分i得到最大的dp[i]?这里采用一个暴力的解法，从2遍历到i-1，完成暴力拆分。每一步拆分，可以从两个途径获得dp[i]，j*(i-j) 或 j*dp[i-j] 。再与前一不遍历对比，可得到醉倒的dp[i]。所以有 ```dp[i] = max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]))。

dp数组初始化

从题意可以看出，当n>=2时，问题才有意义。0和1是无法拆分的，dp[0]、dp[1]是没有意义的，所以这里将dp[0]和dp[1]初始化为0。对于dp[2],y由于只能拆分为1*1，所以dp[2]初始为1。

// 初始化
int[] dp = new int[n+1];
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
dp[2] = 1;

遍历顺序

dp[i] 依靠于dp[i-j]，所以应该从前往后遍历。

举例推导dp数组

三、代码实现

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            for (int j = 1; j < i-1; j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(j * (i - j), j * dp[i-j] ));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}