633. 平方数之和：【最优解】费马平方和性质进行求解｜Java 刷题打卡本文正在参加「Java主题月 - Java 刷

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题目描述

这是 LeetCode 上的 633. 平方数之和 ，难度为中等。

Tag : 「数学」、「双指针」

给定一个非负整数 c ，你要判断是否存在两个整数 a 和 b，使得 $a^2$ + $b^2$ = c 。

示例 1：

输入：c = 5

输出：true

解释：1 * 1 + 2 * 2 = 5

示例 2：

输入：c = 3

输出：false

示例 3：

输入：c = 4

输出：true

示例 4：

输入：c = 2

输出：true

示例 5：

输入：c = 1

输出：true

提示：

0 <= c <= $2^{31}$ - 1

基本分析

根据等式 $a^2 + b^2 = c$ ，可得知 a 和 b 的范围均为 $[0,\sqrt{c}]$ 。

基于此我们会有以下几种做法。

枚举

我们可以枚举 a ，边枚举边检查是否存在 b 使得等式成立。

这样做的复杂度为 $O(\sqrt{c})$ 。

代码：

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        int max = (int)Math.sqrt(c);
        for (int a = 0; a <= max; a++) {
            int b = (int)Math.sqrt(c - a * a);
            if (a * a + b * b == c) return true;
        }
        return false;
    }
}

时间复杂度： $O(\sqrt{c})$
空间复杂度： $O(1)$

双指针

由于 a 和 b 的范围均为 $[0,\sqrt{c}]$ ，因此我们可以使用「双指针」在 $[0,\sqrt{c}]$ 范围进行扫描：

$a^2 + b^2 == c$ : 找到符合条件的 a 和 b，返回 $true$
$a^2 + b^2 < c$ : 当前值比目标值要小，a++
$a^2 + b^2 > c$ : 当前值比目标值要大，b--

代码：

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        int a = 0, b = (int)Math.sqrt(c);
        while (a <= b) {
            int cur = a * a + b * b;
            if (cur == c) {
                return true;
            } else if (cur > c) {
                b--;
            } else {
                a++;
            }
        }
        return false;
    }
}

时间复杂度： $O(\sqrt{c})$
空间复杂度： $O(1)$

费马平方和

费马平方和 : 奇质数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该质数被 4 除余 1 。

翻译过来就是：当且仅当一个自然数的质因数分解中，满足 4k+3 形式的质数次方数均为偶数时，该自然数才能被表示为两个平方数之和。

因此我们对 c 进行质因数分解，再判断满足 4k+3 形式的质因子的次方数是否均为偶数即可。

代码：

public class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        for (int i = 2, cnt = 0; i * i <= c; i++, cnt = 0) {
            while (c % i == 0 && ++cnt > 0) c /= i;
            if (i % 4 == 3 && cnt % 2 != 0) return false;
        }
        return c % 4 != 3;
    }
}

时间复杂度： $O(\sqrt{c})$
空间复杂度： $O(1)$

我猜你问

三种解法复杂度都一样，哪个才是最优解呀？

前两套解法是需要「真正掌握」的，而「费马平方和」更多的是作为一种拓展。

你会发现从复杂度上来说，其实「费马平方和」并没有比前两种解法更好，但由于存在对 c 除质因数操作，导致「费马平方和」实际表现效果要优于同样复杂度的其他做法。但这仍然不成为我们必须掌握「费马平方和」的理由。

三者从复杂度上来说，都是 $O(\sqrt{c})$ 算法，不存在最不最优的问题。

是否有关于「费马平方和」的证明呢？

想要看莱昂哈德·欧拉对于「费马平方和」的证明在这里，我这里直接引用费马本人的证明：

我确实发现了一个美妙的证明，但这里空白太小写不下。

我就是要学「费马平方和」，有没有可读性更高的代码？

有的，在这里。喜欢的话可以考虑背过：

public class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        for (int i = 2; i * i <= c; i++) {
            int cnt = 0;
            while (c % i == 0) {
                cnt++;
                c /= i;
            }
            if (i % 4 == 3 && cnt % 2 != 0) return false;
        }
        return c % 4 != 3;
    }
}

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.633 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour…

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