利用「二段性」找分割点，以及如何确定「二分范围」｜Java 刷题打卡本文正在参加「Java主题月 - Java 刷题打卡

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题目描述

这是 LeetCode 上的 1011. 在 D 天内送达包裹的能力 。

Tag : 「二分」

传送带上的包裹必须在 D 天内从一个港口运送到另一个港口。

传送带上的第 i 个包裹的重量为 weights[i]。每一天，我们都会按给出重量的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。

返回能在 D 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

示例 1：

输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], D = 5

输出：15

解释：
船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：1, 2, 3, 4, 5
第 2 天：6, 7
第 3 天：8
第 4 天：9
第 5 天：10

请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。

示例 2：

输入：weights = [3,2,2,4,1,4], D = 3

输出：6

解释：
船舶最低载重 6 就能够在 3 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：3, 2
第 2 天：2, 4
第 3 天：1, 4

示例 3：

输入：weights = [1,2,3,1,1], D = 4

输出：3

解释：
第 1 天：1
第 2 天：2
第 3 天：3
第 4 天：1, 1

提示：

1 <= D <= weights.length <= 5 * $10^4$
1 <= weights[i] <= 500

二分解法（精确边界）

假定「D 天内运送完所有包裹的最低运力」为 ans，那么在以 ans 为分割点的数轴上具有「二段性」：

数值范围在 $(-\infty, ans)$ 的运力必然「不满足」 D 天内运送完所有包裹的要求
数值范围在 $[ans, +\infty)$ 的运力必然「满足」 D天内运送完所有包裹的要求

即我们可以通过「二分」来找到恰好满足 D天内运送完所有包裹的分割点 ans。

接下来我们要确定二分的范围，由于不存在包裹拆分的情况，考虑如下两种边界情况：

理论最低运力：只确保所有包裹能够被运送，自然也包括重量最大的包裹，此时理论最低运力为 max，max 为数组 weights 中的最大值
理论最高运力：使得所有包裹在最短时间（一天）内运送完成，此时理论最高运力为 sum，sum 为数组 weights 的总和

由此，我们可以确定二分的范围为 $[max, sum]$ 。

代码：

class Solution {
    public int shipWithinDays(int[] ws, int d) {
        int max = 0, sum = 0;
        for (int w : ws) {
            max = Math.max(max, w);
            sum += w;
        }
        int l = max, r = sum;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(ws, mid, d)) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return r;
    }
    boolean check(int[] ws, int t, int d) {
        int n = ws.length;
        int cnt = 1;
        for (int i = 1, sum = ws[0]; i < n; sum = 0, cnt++) {
            while (i < n && sum + ws[i] <= t) {
                sum += ws[i];
                i++;
            }
        }
        return cnt - 1 <= d;
    }
}

时间复杂度：二分范围为 $[max, sum]$ ，check 函数的复杂度为 $O(n)$ 。整体复杂度为 $O(n\log({\sum_{i= 0}^{n - 1}ws[i]}))$
空间复杂度： $O(1)$

二分解法（粗略边界）

当然，一个合格的「二分范围」只需要确保包含分割点 ans 即可。因此我们可以利用数据范围来确立粗略的二分范围（从而少写一些代码）：

利用运力必然是正整数，从而确定左边界为 $1$
根据 $1 \leqslant D \leqslant weights.length \leqslant 50000$ 和 $1 \leqslant weights[i] \leqslant 500$ ，从而确定右边界为 $1e8$

PS. 由于二分查找具有折半效率，因此「确立粗略二分范围」不会比「通过循环取得精确二分范围」效率低。

代码：

class Solution {
    public int shipWithinDays(int[] ws, int d) {
        int l = 1, r = (int)1e8;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1;
            if (check(ws, mid, d)) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid + 1;
            }
        }
        return r;
    }
    boolean check(int[] ws, int t, int d) {
        if (ws[0] > t) return false;
        int n = ws.length;
        int cnt = 1;
        for (int i = 1, sum = ws[0]; i < n; sum = 0, cnt++) {
            if (ws[i] > t) return false;
            while (i < n && sum + ws[i] <= t) {
                sum += ws[i];
                i++;
            }
        }
        return cnt - 1 <= d;
    }
}

时间复杂度：二分范围为 $[1, 1e8]$ ，check 函数的复杂度为 $O(n)$ 。整体复杂度为 $O(n\log{1e8})$
空间复杂度： $O(1)$

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最后

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