前言
我们知道二分查找算法底层依赖的是数组随机访问的特性，即用数组来实现的。不知大家有没有想过如果数据存储在链表中，就真的不能用二分查找算法了吗？
事实上，只需要对链表做一些改进，就可以支持类似“二分”的查找算法了。通常把改造之后的数据结构叫作跳表（Skip list），也就是下面会要讲的内容。
跳表这种数据结构听起来是不是感觉比较陌生，因为这种数据结构一般单独拿出来讲比较少，在数据结构和算法书籍里也都不怎么会讲。但是它确实是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构，可以支持快速的插入、删除和查找操作，其实写起来也不复杂，甚至在有些场景下可以替代红黑树（Red-black tree）。
Redis 中的有序集合（Sorted Set）就是用跳表数据结构来实现的。如果对数据结构有一定的基础，应该都知道红黑树也可以实现快速的插入、删除和查找操作。那 Redis 为何会选择跳表来实现有序集合而不是选择红黑树呢？看完下面的内容说明，应该就可以知道答案了。
跳表介绍
对于单链表来讲，即使链表中存储的数据是有序的，但如果要想在其中查找某个数据，是需要从头到尾遍历链表的，这样的查找效率就比较低，时间复杂度为 O(n)。单向链表结构如下所示：
那么如果想要提高查找效率该怎么改进呢？对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就会更快一些？每两个结点提取一个结点到上一级，通常把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的 down 表示指向下层节点的指针，即指向下一级结点。如下图所示：
如果现在要查找某个结点，比如 10，则可以先在索引层(一级索引)遍历，当遍历到索引层中值为 9 的结点时，我们发现下一个结点是 12，那要查找的结点 10 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针，下降到原始链表这一层，继续遍历。这个时候，我们只需要再遍历 1 个结点，就可以找到值等于 10 的这个结点了。
这样，原来如果要查找 10，需要遍历 8 个结点，现在只需要遍历 5 个结点。从这个例子里，我们看出，加了一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。
那如果我们再加一级索引呢？效率会不会提升更多呢？跟前面建立第一级索引的方式一样，我们在第一级索引的基础之上，每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找 10，只需要遍历 4 个结点了，可以看的需要遍历的结点数量又减少了（这里举的例子数据量不大，即便加了两级索引，查找效率的提升也并不是很明显）。如下图所示：
用跳表查找效率到底可以提升多少
前面我讲过，算法的执行效率可以通过时间复杂度来度量，这里依旧可以用。我们知道，在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是 O(n)。那在一个具有多级索引的跳表中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？
这里先来看一个问题，如果链表里有 n 个结点，会有多少级索引呢？
按照我们刚才讲的，每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点，那第一级索引的结点个数大概就是 n/2，第二级索引的结点个数大约就是 n/4，第三级索引的结点个数大约就是 n/8，依次类推，也就是说，第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2，那第 k 级索引结点的个数就是 n/(2k)。
假设索引有 h 级，最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式，我们可以得到 n/(2h)=2，从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是 log2n。
我们在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历 m 个结点，那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。那这个 m 的值是多少呢？按照前面这种索引结构，我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点，也就是说 m=3，为什么是 3 呢？这里解释一下：
假设我们要查找的数据是 x，在第 k 级索引中，我们遍历到 y 结点之后，发现 x 大于 y，小于后面的结点 z，所以我们通过 y 的 down 指针，从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中，y 和 z 之间只有 3 个结点（包含 y 和 z），所以，我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点，依次类推，每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。如下图所示：
通过上面的分析，我们得到 m=3，所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说，我们其实是基于单链表实现了二分查找，但是，有一个比较鸡肋的地方就是：这种查询效率的提升，前提是建立了很多级索引，即需要占用额外的内存空间。
跳表内存使用情况
比起单纯的单链表，跳表需要存储多级索引，肯定要消耗更多的存储空间。下面来看下跳表的空间复杂度。
假设原始链表大小为 n，那第一级索引大约有 n/2 个结点，第二级索引大约有 n/4 个结点，以此类推，每上升一级就减少一半，直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来，就是一个等比数列。
原始链表大小为n，每2个节点取1个，则每层索引的节点数：n/2, n/4, n/8, ... , 8, 4, 2。
这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以，跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说，如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表，我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢？我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引，如果我们每三个结点或五个结点，抽一个结点到上级索引，这样是不是就不用那么多索引结点了呢？
通过等比数列求和公式，总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n)，但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法，要减少了一半的索引结点存储空间。
实际上，在程序开发中，我们一般不必太在意索引占用的额外空间。因为当对象比索引结点大很多时，那索引占用的额外空间就可以忽略了。
跳表的动态插入和删除
到这里，跳表的数据结构应该已经很清楚了，它的查找操作我们刚才也讲过了。实际上，跳表这个动态数据结构，不仅支持查找操作，还支持动态的插入、删除操作，而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)。
插入数据
现在来看下，如何在跳表中插入一个数据，以及它是如何做到 O(logn)的时间复杂度的？
我们知道，在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是 O(1)。但是，这里为了保证原始链表中数据的有序性，我们需要先找到要插入的位置，这个查找操作就会比较耗时。对于纯粹的单链表，需要遍历每个结点，来找到插入的位置。但是，对于跳表来说，我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn)，所以这里查找某个数据应该插入的位置，方法也是类似的，时间复杂度也是 O(logn)。
删除操作
如果这个结点在索引中也有出现，我们除了要删除原始链表中的结点，还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点，然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候，是需要获取到前驱结点的。当然，如果用的是双向链表，就不需要考虑这个问题了。
跳表索引的动态更新
当不停地往跳表中插入数据时，如果不更新索引，就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表还会退化成单链表。如下图所示：
作为一种动态数据结构，是需要一些方法来维护索引与原始链表大小之间的平衡，也就是说，如果链表中结点多了，索引结点就相应地增加一些，避免复杂度退化，以及查找、插入、删除操作的性能下降。
如果有了解红黑树、AVL 树这样平衡二叉树的话，那么就应该知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡，而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”的。
当需要往跳表中插入数据的时候，可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。那么该如何选择加入哪些索引层呢？此时通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了 k 值，那么就将这个结点添加到第一级到第 K 级的索引中。
当然随机函数的选择是有讲究的，从概率上来讲，能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性，不至于性能过度退化。至于随机函数的选择，这里就不另外赘述了。如果有兴趣的话，可以谷歌搜索了解。
Redis 选择用跳表来实现有序集合的原因
说明一下：为什么 Redis 选择跳表数据结构来实现有序集合，而不是红黑树？
Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的，严格点讲，其实还用到了散列表。散列表这里暂且忽略这部分。查看 Redis 的开发 API，会发现 Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个：
- 插入一个数据；
- 删除一个数据；
- 查找一个数据；
- 按照区间查找数据（比如查找值在[103, 266]之间的数据）；
- 迭代输出有序序列。
其中，插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作，红黑树也可以完成，时间复杂度跟跳表是一样的。但是，按照区间来查找数据这个操作，红黑树的效率没有跳表高。
对于按照区间查找数据这个操作，跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点，然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了，这样高效大大提升。
当然，Redis 之所以用跳表来实现有序集合，还有其他原因，比如，跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单，但比起红黑树来说还是好懂、好写多了，而简单就意味着可读性好，不容易出错。还有，跳表更加灵活，它可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。
不过，跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些，很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发的时候，直接拿来用就可以了，不用费劲自己去实现一个红黑树，但是跳表并没有一个现成的实现，所以在开发中，如果你想使用跳表，是需要自己去实现的。
总结
主要是讲了跳表这种数据结构。
- 跳表使用空间换时间的设计思路，通过构建多级索引来提高查询的效率，实现是基于“二分查找”的链表操作。
- 跳表是一种动态数据结构，支持快速的插入、删除、查找操作，时间复杂度都是 O(logn)。
- 跳表的空间复杂度是 O(n)，不过，跳表的实现非常灵活，可以通过改变索引构建策略，有效平衡执行效率和内存消耗。
- 虽然跳表的代码实现并不简单，但是作为一种动态数据结构，比起红黑树来说，实现要简单多了。所以很多时候，我们为了代码的简单、易读，比起红黑树，我们更倾向用跳表。
