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Redis选择跳表来实现有序集合的原因竟然是这样...

前言

我们知道二分查找算法底层依赖的是数组随机访问的特性,即用数组来实现的。不知大家有没有想过如果数据存储在链表中,就真的不能用二分查找算法了吗?

事实上,只需要对链表做一些改进,就可以支持类似“二分”的查找算法了。通常把改造之后的数据结构叫作跳表(Skip list),也就是下面会要讲的内容。

跳表这种数据结构听起来是不是感觉比较陌生,因为这种数据结构一般单独拿出来讲比较少,在数据结构和算法书籍里也都不怎么会讲。但是它确实是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构,可以支持快速的插入、删除和查找操作,其实写起来也不复杂,甚至在有些场景下可以替代红黑树(Red-black tree)。

Redis 中的有序集合(Sorted Set)就是用跳表数据结构来实现的。如果对数据结构有一定的基础,应该都知道红黑树也可以实现快速的插入、删除和查找操作。那 Redis 为何会选择跳表来实现有序集合而不是选择红黑树呢?看完下面的内容说明,应该就可以知道答案了。

跳表介绍

对于单链表来讲,即使链表中存储的数据是有序的,但如果要想在其中查找某个数据,是需要从头到尾遍历链表的,这样的查找效率就比较低,时间复杂度为 O(n)。单向链表结构如下所示:

singlink.png

那么如果想要提高查找效率该怎么改进呢?对链表建立一级“索引”,查找起来是不是就会更快一些?每两个结点提取一个结点到上一级,通常把抽出来的那一级叫作索引或索引层。图中的 down 表示指向下层节点的指针,即指向下一级结点。如下图所示:

singlink2.png

如果现在要查找某个结点,比如 10,则可以先在索引层(一级索引)遍历,当遍历到索引层中值为 9 的结点时,我们发现下一个结点是 12,那要查找的结点 10 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针,下降到原始链表这一层,继续遍历。这个时候,我们只需要再遍历 1 个结点,就可以找到值等于 10 的这个结点了。

这样,原来如果要查找 10,需要遍历 8 个结点,现在只需要遍历 5 个结点。从这个例子里,我们看出,加了一层索引之后,查找一个结点需要遍历的结点个数减少了,也就是说查找效率提高了。

那如果我们再加一级索引呢?效率会不会提升更多呢?跟前面建立第一级索引的方式一样,我们在第一级索引的基础之上,每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找 10,只需要遍历 4 个结点了,可以看的需要遍历的结点数量又减少了(这里举的例子数据量不大,即便加了两级索引,查找效率的提升也并不是很明显)。如下图所示:

singlink3.png

用跳表查找效率到底可以提升多少

前面我讲过,算法的执行效率可以通过时间复杂度来度量,这里依旧可以用。我们知道,在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是 O(n)。那在一个具有多级索引的跳表中,查询某个数据的时间复杂度是多少呢?

这里先来看一个问题,如果链表里有 n 个结点,会有多少级索引呢?

按照我们刚才讲的,每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大概就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是第 k-1 级索引的结点个数的 1/2,那第 k 级索引结点的个数就是 n/(2k)

假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 n/(2h)=2,从而求得 h=log2n-1。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是 log2n

我们在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 O(m*logn)。那这个 m 的值是多少呢?按照前面这种索引结构,我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点,也就是说 m=3,为什么是 3 呢?这里解释一下:

假设我们要查找的数据是 x,在第 k 级索引中,我们遍历到 y 结点之后,发现 x 大于 y,小于后面的结点 z,所以我们通过 y 的 down 指针,从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中,y 和 z 之间只有 3 个结点(包含 y 和 z),所以,我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点,依次类推,每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。如下图所示:

singlink4.png

通过上面的分析,我们得到 m=3,所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 O(logn)。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。换句话说,我们其实是基于单链表实现了二分查找,但是,有一个比较鸡肋的地方就是:这种查询效率的提升,前提是建立了很多级索引,即需要占用额外的内存空间。

跳表内存使用情况

比起单纯的单链表,跳表需要存储多级索引,肯定要消耗更多的存储空间。下面来看下跳表的空间复杂度。

假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。

原始链表大小为n,每2个节点取1个,则每层索引的节点数:n/2, n/4, n/8, ... , 8, 4, 2。

这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以,跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。那我们有没有办法降低索引占用的内存空间呢?我们前面都是每两个结点抽一个结点到上级索引,如果我们每三个结点或五个结点,抽一个结点到上级索引,这样是不是就不用那么多索引结点了呢?

通过等比数列求和公式,总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n),但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法,要减少了一半的索引结点存储空间。

实际上,在程序开发中,我们一般不必太在意索引占用的额外空间。因为当对象比索引结点大很多时,那索引占用的额外空间就可以忽略了。

跳表的动态插入和删除

到这里,跳表的数据结构应该已经很清楚了,它的查找操作我们刚才也讲过了。实际上,跳表这个动态数据结构,不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作,而且插入、删除操作的时间复杂度也是 O(logn)

插入数据

现在来看下,如何在跳表中插入一个数据,以及它是如何做到 O(logn)的时间复杂度的?

我们知道,在单链表中,一旦定位好要插入的位置,插入结点的时间复杂度是很低的,就是 O(1)。但是,这里为了保证原始链表中数据的有序性,我们需要先找到要插入的位置,这个查找操作就会比较耗时。对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。但是,对于跳表来说,我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 O(logn),所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 O(logn)。

删除操作

如果这个结点在索引中也有出现,我们除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,是需要获取到前驱结点的。当然,如果用的是双向链表,就不需要考虑这个问题了。

跳表索引的动态更新

当不停地往跳表中插入数据时,如果不更新索引,就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表。如下图所示:

singlink5.png

作为一种动态数据结构,是需要一些方法来维护索引与原始链表大小之间的平衡,也就是说,如果链表中结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂度退化,以及查找、插入、删除操作的性能下降。

如果有了解红黑树、AVL 树这样平衡二叉树的话,那么就应该知道它们是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡,而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”的

当需要往跳表中插入数据的时候,可以选择同时将这个数据插入到部分索引层中。那么该如何选择加入哪些索引层呢?此时通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了 k 值,那么就将这个结点添加到第一级到第 K 级的索引中。

当然随机函数的选择是有讲究的,从概率上来讲,能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性,不至于性能过度退化。至于随机函数的选择,这里就不另外赘述了。如果有兴趣的话,可以谷歌搜索了解。

Redis 选择用跳表来实现有序集合的原因

说明一下:为什么 Redis 选择跳表数据结构来实现有序集合,而不是红黑树?

Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的,严格点讲,其实还用到了散列表。散列表这里暂且忽略这部分。查看 Redis 的开发 API,会发现 Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个:

  • 插入一个数据;
  • 删除一个数据;
  • 查找一个数据;
  • 按照区间查找数据(比如查找值在[103, 266]之间的数据);
  • 迭代输出有序序列。

其中,插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作,红黑树也可以完成,时间复杂度跟跳表是一样的。但是,按照区间来查找数据这个操作,红黑树的效率没有跳表高

对于按照区间查找数据这个操作,跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点,然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了,这样高效大大提升。

当然,Redis 之所以用跳表来实现有序集合,还有其他原因,比如,跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单,但比起红黑树来说还是好懂、好写多了,而简单就意味着可读性好,不容易出错。还有,跳表更加灵活,它可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。

不过,跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些,很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。我们做业务开发的时候,直接拿来用就可以了,不用费劲自己去实现一个红黑树,但是跳表并没有一个现成的实现,所以在开发中,如果你想使用跳表,是需要自己去实现的。

总结

主要是讲了跳表这种数据结构。

  • 跳表使用空间换时间的设计思路,通过构建多级索引来提高查询的效率,实现是基于“二分查找”的链表操作。
  • 跳表是一种动态数据结构,支持快速的插入、删除、查找操作,时间复杂度都是 O(logn)
  • 跳表的空间复杂度是 O(n),不过,跳表的实现非常灵活,可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。
  • 虽然跳表的代码实现并不简单,但是作为一种动态数据结构,比起红黑树来说,实现要简单多了。所以很多时候,我们为了代码的简单、易读,比起红黑树,我们更倾向用跳表。
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