连续时间下的一般资产定价模型

本文对连续时间下的资产定价模型进行介绍，并推导主要结论。

1 价格过程

在连续时间下，我们假设一项资产的收益率为：

其中$D_t$为在$t$时间点的支付股息的比率，$D_t dt$即为在$dt$时间内支付的股息。

我们用扩散过程（diffusion process）对它的价格进行建模：

其中$dz$为标准布朗运动的增量，即$z_{t+\Delta}-z_t\sim N(0,\Delta)$。Diffusion process是没有跳（jump）的，且增量$dz$为正态分布，之所以作出该假设，是为了后面分析的方便。当然，由于$\mu(\cdot)$与$\sigma(\cdot)$是隐含变量的函数，$f(p_{t+\Delta}|I_t)$未必是正态分布。

在这样的假设下，我们先以无风险收益率为例，看这样的模型是怎样工作的。一方面，无风险资产可以看作是价格不变并始终以某个比率发放股息的资产，即$p=1$且$D_t=r_t^f$，另一方面，它也可以看作是不发放股息但价格按固定速度爬山的资产，即$D_t=0$且$\dfrac{dp_t}{p_t}=r_t^f dt$，这两种角度，对于最终的收益率是等价的。

2 一般均衡

接下来，与在离散时间中的思路一样，我们来看市场在一般均衡时的解。假设投资者的效用函数为

假设投资者可以以价格$p_t$购买某资产，一单位该资产的股息流（dividend stream）是$D_t$，即在$dt$时间内的股息为$D_t dt$。如果投资者选择买入$\xi$单位的该资产，那么在$dt$内，他的单位时间消费就会是$c_t=e_t-\xi p_t/dt$，他买入资产导致的效用损失应为$u'(c_t)(e_t-c_t)dt=u'(c_t)\xi p_t$，而未来股息收入带来效用收益为$\text{E}_t\left[\int_{s=0}^{\infty}e^{-\delta s}u'(c_{t+s}) \xi D_{t+s} ds\right]$，在达到均衡时，必有

连续时间下的“贴现因子”（discount factor）可定义为$\Lambda \equiv e^{-\delta t} u'(c_t)$，在上式两边同乘$e^{-\delta t}$后，就有

该式右侧是在$[0,\infty]$上的积分，可以将该积分区间划分为$[0,\Delta)$和$[\Delta,\infty)$两个部分：

最后一步是在$\Delta$很小时候的近似。

我们可以进一步化简，并将上式变成微分的形式：

如果丢掉下标，可以简写为

$(1)$式可看作是$p=\text{E}(mx)$的连续时间版本。为什么？若取$D=0$且$\Lambda$为常数，则有$0=\text{E}_t\left(dp_t\right)=\text{E}_t\left(p_{t+\Delta}-p_t\right)$，此式就等价于说价格过程是一个martingale，即以边际效用加权的价格过程是一个martingale，而$(1)$式就是加入了股息调整后的情况。对应到离散时间中，martingale过程即为$p_t=\text{E}[m_{t+1}(p_{t+1+d_{t+1}})]$。

利用Ito's lemma：$d(\Lambda p)=p d\Lambda +\Lambda dp +dp d\Lambda$，代入$(1)$并除以$\Lambda p$（假设它们均不为$0$）后，有

我们回到无风险利率，在第1节中说过，无风险资产可以看作价格$p=1$并持续以$D_t=r_t^f$发放股息的资产，或者是无息但价格按照$dp_t/p_t=r^f_t dt$运动的资产。不管从哪个角度看，都可以将它们代回$(1)$或$(2)$，并得到

如果市场上不存在无风险债券，我们也可以用上式去定义一个影子无风险利率（shadow risk-free rate），或者叫zero-beta rate。上式其实就类似于离散时间中的$R_t^f =\dfrac{1}{\text{E}_t(m_{t+1})}$。

将无风险利率代回$(2)$，并整理后得：

上式就类似于离散时间下的$\text{E}(R) = R^f-R^f \text{Cov}(m,R)$。

3 再看贴现因子

本节我们再回到贴现因子$\Lambda = e^{-\delta t} u'(c_t)$上。在离散时间中，消费与贴现因子的非线性关系很难处理，我们不得不用一些技巧来做出近似，但在连续时间下，可以用Ito's lemma很容易地处理非线性关系：

再除以$\Lambda_t$：

我们定义

将$(4)$用$\gamma$和$\eta$表示后，代回到$(3)$，可得：

从上式可以看出，一项资产的收益率如果与消费增长率同向变动，那么它就有更高的期望收益率。

令$\mu_p=\text{E}_t\left(\dfrac{dp_t}{p_t}\right)$，$\sigma_p=\text{E}_t\left[\left(\dfrac{dp_t}{p_t}\right)^2\right]$，$\sigma_c=\text{E}_t\left[\left(\dfrac{dc_t}{c_t}\right)^2\right]$，由于相关系数必定小于$1$，代回上式后有