【Leetcode】279. 完全平方数

题目描述

// 279. 完全平方数

// 给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和
// 等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

// 给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。

// 完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整
// 数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

题解

// 动态规划
// n必定可以表示成：n = a1^2 + a2^2 + a3^2 + ... +an^2 （an^2 <= n)
// 设我们要求的目标，n的完全平方数的最少数量为f(n)。
// 
// 我们知道，组成n的完全平方数包括[a1, a2, ..., an]（升序），
// 那么必定有f(n) = Math.min(f(an) + 1, ..., f(a2) + 1, f(a1) + 1)。
// 即f(n)等于，组成的n的完全平方数[a1, a2, ..., an]中它们各自的完全平方数
// 的最少数量f(an), ...,f(a2),f(a1)的最小值，再加1（假设最小值是f(an)）。
// 加1就自动考虑了an作为n的其中一个完全平方数，关于n的互补的另一个完全平
// 方数（即an^2 + 某个数 必定等于n）。
//
// 根据以上，我们通过f(n) = Math.min(f(an) + 1, ..., f(a2) + 1, f(a1) + 1)，
// 和 n = a1^2 + a2^2 + a3^2 + ... +an^2 （an^2 <= n)
// 可以得到dp[n] = Math.min(dp[an] + 1, ..., dp[a2] + 1, dp[a1] + 1),
// 即【dp[n] = Math.min(dp[n - i^2] + 1)，for (i = 1; i^2 <= n; i++)】
// 因此，我们要求dp[n]，就需要知道dp[n]之前的状态dp[n - i^2], （for(i = 1;
//  i^2 <= n; i++)），我们再设一个for循环，令n从1一直遍历n，所有状态记录
// 到动态规划数组dp中，这样就能够一步步推导到我们想要的状态dp[n]。
// 
// 执行用时：30 ms, 在所有 Java 提交中击败了87.53%的用户
// 内存消耗：37.5 MB, 在所有 Java 提交中击败了68.49%的用户
class Solution {
    public int numSquares(int n) {
		int[] dp = new int[n + 1];
		
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			int temp = Integer.MAX_VALUE;
			for (int j = 1; j*j <= i; j++) {
				temp = Math.min(temp, dp[i - j*j] + 1);
			}
			dp[i] = temp;
		}
		return dp[n];
    }
}