1、序列密码

在对称加密中一般分为分组密码（block cipher）和序列密码（stream cipher），两者最大的区别就是在加密那一块，分组是对一组（一般64位）进行加密，而序列则是对一位或字符加密。

1.1 RC4密码

RC4密码大致过程就是：

首先由用户输入任意长度的秘钥K ，一个初始数组S[255]={0, 1, 2,...,255}
然后初始化一个种子秘钥 T ，将秘钥 K 的值按位循环赋给T，直到填满T为止。

用种子秘钥 T 对 S 表进行初始置换，得到置换后的 S 表。

代码如下：

S = []
T = []

def stream_init(main_key):
    """ 1、初始化
    :parmas main_key: 初始化表 S 和 T，用于后续加密或解密
    """
    
    global S, T
    S = [i for i in range(256)]
    T = [main_key[i%len(main_key)] for i in range(256)]   # 256位
    
    # 对S表进行置换
    j = 0
    for i in range(256):
        j = (j + S[i] + ord(T[i])) % 256
        S[i], S[j] = S[j], S[i]

接下来就是从 S 表中持续获取到不同的一位秘钥（核心：不断进行S表置换），然后与明文中的一位进行异或运算，就得到一位密文。同理获取到的一位秘钥与密文中的一位进行异或运算，将得到一位明文。

def deal_txt(text):
    """ 2、处理明文→密文或者密文→明文
    :param text: 明文或者是密文
    :return: 明文加密或密文解密
    """
    i, j = 0, 0
    a_text = ''     # 返回处理后的字符串
    for each_t in list(text):     # 遍历每位要处理的字符
        i = (i + 1) % 256
        j = (j + S[i]) % 256
        S[i], S[j] = S[j], S[i]  # 对S表进行置换
        
        t = (S[i] + S[j]) % 256
        k1 = S[t]                # k1 就是经过置换后得到的一位秘钥
        
        a_text += chr((ord(each_t) ^ k1))     # 将明文与k1的异或值unicode，转成str字母，然后拼接到a_text中。
    
    return a_text

对明文中的每一位都和秘钥进行异或操作得到一位密文，然后拼接起来就是最终返回的密文。

if __name__ == '__main__':
    plaintext = 'zhang'
    key = 'fwefew'
    print(f"明文:{plaintext}, 秘钥:{key}")
    
    stream_init(key)
    cipher_txt = deal_txt('zhang')
    
    stream_init(key) 
    plaintext2 = deal_txt(cipher_txt)
    
    print(f"密文:{cipher_txt}, 解密后明文:{plaintext2}")

# 明文:zhang, 秘钥:fwefew
# 密文:å¦àÔ, 解密后明文:zhang

将加密后的结果与官方RC4加密结果做了对比，发现是一样的，没毛病。这里注意：官方的RC4返回的结果是用16进制表示的，而我的是用字符表示的，其实本质上都是一样的。

rc4代码加密结果对比官方.png

2、费马小定理

定理：如果 p 是一个素数，且 a 不是 p 的倍数，那么有 $a^{p-1}\equiv1(mod p)$

证明费马小定理：

证明方法有很多，其中使用同余性质的方法证明是最精简的。

首先取一个素数 p ，设小于p的数 $x,x\subseteq[0,p-1]$ ，有 $gcd(x, p)=1, x=x mod p$

设集合 $X = \{1,2,3,\cdots,{p-1}\}$

设集合 $Y = \{(a\times1)mod p,(a\times2) mod p, (a\times3) mod p,\cdots,a\times({p-1})mod p\}$

这里需要证明 Y 的元素不为零且互不相等，至于为什么等下面揭晓。

a 不是 p 的倍数推出 $a mod p\neq 0$ ，另外根据取模运算中的乘法运算有：
$(a\times(p-1))mod p = (a mod p) \times (p-1)mod p)\neq0$
推出 Y 的所有元素都不为0。
利用反证法证明 Y 的元素都互不相同，设 $x, y\subset X$ ，假设 $ax (mod p)\equiv ay (mod p)$ ，推出 $ax \equiv ay (mod p)$ ，这一步是用同余的式子对两边化简的。

根据取模定理中的除法性质，若 $gcd(a, p)=1$ 则有 $x\equiv y (mod p)$ ，进而有 $x=y$ 。

但是由于 X 中的元素都互不相同，所以有 $x \neq y$ ，进而 $x\equiv y(mod p)$ 不成立，推出 $ax (mod p)\neq ay (mod p)$ 。注意： $x, y\subset X$

所以最后得出 Y 中的所有元素都不相同，又因为Y中的所有元素都是对 p 取余，所以 Y 的所有的元素都是属于 $[0, p-1]$ 之间且不同。推出X=Y

所以有：

1\times2\times3\times\cdots(p-1)=(a\times1)(modp)\times(a\times2)(modp)\times\cdots\times[a\times(p-1)](modp)

根据取模运算中的乘法运算有：

1\times2\times3\times\cdots(p-1) \equiv a^{p-1}[1\times2\times3\times\cdots\times(p-1)](modp)

(p-1)! \equiv a^{p-1}(p-1)!(modp)

有根据模运算中的除法运算，因为 $gcd(i, p)=1,i\subset[0, p-1]$ ，所以有：

1 \equiv a^{p-1}(modp)

a^{p-1} \equiv 1(modp)

到此证明费马小定理结束。

3、欧拉函数和欧拉定理

欧拉函数定义：小于n且与n互素的个数称为欧拉函数 $\phi(n)$

欧拉定理：任意互素的整数 a 和 n，有 $a^{\phi(n)}=1 mod n$ ， $\phi(n)$ 是欧拉函数。

证明欧拉定理：时间紧张，后续再补。

4、最大公约数定理

如果两个整数 a 和 b， $d=gcd(a, b)$ ，那么存在整数 x 和 y 有 $ax+by=d$ 。如果 a 和 b 是互素的，那么有 $ax+by=1$

总结：

这些定理都需要记住，在后面学习的 RSA 非对称加密算法中用的很多，从开始的懵逼到写完后的思路清晰，或许这就是学习的魅力吧，多看多练多总结！

参考文章：

www.cnblogs.com/gambler/p/9…

latex.vimsky.com/

mirukuchan.github.io/post/fermat…

信安读书笔记06-序列密码_RC4_费马小定理_欧拉定理

1、序列密码

1.1 RC4密码

2、费马小定理

3、欧拉函数和欧拉定理

4、最大公约数定理

总结：