数据结构（上）01E-8 二分递归：Max2

数据结构（上）01E-8 二分递归：Max2

Max2: 迭代1

在给定的数组区间 $A[lo,hi)$ 中找出最大的两个元素 $A[x_1]$ 和 $A[x_2]$。元素比较的次数，要求尽可能得少。

$A$中包含的元素是$A[lo]$...$A[lo+1]$...$A[hi-1]$

void max2(int A[], int lo, int hi, int & x1, int & x2){ // 1 < n = hi - lo
    for (x1 = lo, int i = lo + 1; i < hi; i ++) //扫描A[lo,hi), 找出A[x1]
        if (A[x1] < A[i]) x1 = i; // hi - lo - 1 = n - 1
    for (x2 = lo, int i = lo + 1; i < x1; i ++) //扫描A[lo, x1)
        if (A[x2] < A[i]) x2 = i; // x1 - lo - 1
    for (int i = x1 + 1; i < hi; i++) //再扫描A(x1, hi),找出A[x2] 
        if (A[x2] < A[i]) x2 = i; // hi - x1 - 1 
}

比较次数是： $n - 1 + (n - 2) = 2n - 3$

Max2: 迭代2

void max2(int A[], int lo, int hi, int & x1, int & x2){ // 1 < n = hi - lo
    if (A[x1 = lo] < A[x2 = lo + 1]) swap(x1, x2);
    for (int i = lo + 2; i < hi; i++)
        if (A[x2] < A[i])
            if (A[x1] < A[x2 = i])
                swap(x1, x2)
     \\ else continue;
}

首先确认$x1$和$x2$是扫描范围内的最大者和次大者。然后利用循环，从第三个元素开始逐一递增，第一步和$x2$作比较，只有当它大于$x2$时，才将$x2$更新为$i$。第二步与$x1$作比较，如果大于$x1$，则交换位置。从而实现当前最大元素和次大元素的更新。

最好的情况是循环中是实行一次比较 $1 + (n-2)\times 1 = n - 1$；

最坏的情况是实行两次比较 $1 + (n-2) \times 2 = 2n - 3$。

递归 + 分治

这里我们递归求解两个子问题：分别求出左侧的最大元素和次大元素，以及右侧的最大元素和次大元素。全局的最大元是$\max(x1L, x1R)$，有两种情况，左侧胜出和右侧胜出。

先考虑左侧胜出。那么全局最大元素是$\max(x2L, x1R)$。

void max2(int A[], int lo, int hi, int & x1, int & x2){
    if (lo + 2 == hi) {; return;} // T(2) = 1
    if (lo + 3 == hi) {; return;} // T(3) <= 3
    int mi = (lo + hi) / 2; //divide
    int x1L, x2L; max2(A, lo, mi, x1L, x2L);
    int x1R, x2R; max2(A, mi, hi, x1R, x2R);
    if (A[x1L] > A[x1R]){ // 对子区间的最大值进行比较（左图）
        x1 = x1L; // 第一层比较
        x2 = (A[x2L] > A[x1R]) ? x2L : x1R; // 第二层比较
    }
    else{
        x1 = x1R; 
        x2 = (A[x1L] > A[x2R]) ? x1L : x2R;
    } // 1 + 1 = 2
} // T(n) = 2*T(n/2) + 2 <= 5n / 3 -2 实现下降

首先递归树的叶子节点都在同一层，然后整个算法的复杂度是从叶子向根节点这样综合上去的，因此既然层数一定，唯一影响复杂度的就是叶子节点所代表的递归基的复杂度。递归基有两种T(3)和T(2)，这两种都是不可再分的。前者复杂度为3，后者复杂度为2，因此最好的情况是递归树的叶子节点都是T(2)，最差的情况是叶子节点都是T(3)。[ref 评论区]

下界：$2^{ln(n/2)+1}-1-1+n/2=3n/2-2$

上界：$2^{ln(n/3)+1}-1-1+(n/3)*3=5n/3-2$