数据结构篇05、二分搜索树

二分搜索树是这样定义的，对于任意一个节点，它的左子树的所有节点的都小于此节点的值，它的右子树的所有节点的值都大于此节点的值；

二分搜索树全称BinarySearchTree，我们在实现中简称为BST；

1、二分搜索树Node节点及基本属性

Node节点包含元素e，左右孩子节点left和right，与链表中的节点是不同的；

root节点属性表示二分搜索树的根节点；

size表示二分搜索树的元素个数；

size()函数返回二分搜索树元素个数；

isEmpty()函数返回二分搜索树是否为空；

public class BST<E extends Comparable<E>> {

    private class Node{
        public E e;
        public Node left, right;

        public Node(E e){
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int size(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }
    、、、
}

2、往二分搜索树中添加元素

由于二分搜索树节点天然的递归结构，所以我们可以使用递归来添加元素；

递归一般就分两步走，递归终止条件和递归过程，在方法中有注释；

因为二分搜索树的性质，所以添加元素时如果元素的值比当前根节点下，就添加到当前根节点的左子树中去，相反比当前根节点值大，就添加到当前根节点的右子树；

// 向二分搜索树中添加新的元素e
public void add(E e){
    root = add(root, e);
}

// 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, E e){

	//递归终止条件
    if(node == null){
        size ++;
        return new Node(e);
    }

    //递归过程
    if(e.compareTo(node.e) < 0)
        node.left = add(node.left, e);
    else if(e.compareTo(node.e) > 0)
        node.right = add(node.right, e);

    return node;
}

3、从二分搜索树中查找元素

同理此处使用递归，分递归终止条件和递归过程；

跟添加元素操作同理，当查找的元素小于当前根节点，就去左子树查找；当查找的元素大于当前根节点，就去右子树查找；当查找的元素等于当前根节点的值，直接返回true；递归终止还没找到就返回false；

// 看二分搜索树中是否包含元素e
public boolean contains(E e){
    return contains(root, e);
}

// 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
private boolean contains(Node node, E e){

	//递归终止条件
    if(node == null)
        return false;

    //递归过程
    if(e.compareTo(node.e) == 0)
        return true;
    else if(e.compareTo(node.e) < 0)
        return contains(node.left, e);
    else // e.compareTo(node.e) > 0
        return contains(node.right, e);
}

4、二分搜索树的前、中、后序以及层序遍历

我们在遍历过程中只是打印了一下元素；

其中前中后序遍历的递归写法非常简单，只需要在左右子树递归的不同位置操作元素即可；

二分搜索树的层序遍历，借助Queue队列这种数据结构实现起来也非常简单，代码如下所示；

其中前序遍历的非递归写法借助Stack栈这种数据结构实现起来也非常简单；

// 二分搜索树的前序遍历
public void preOrder(){
    preOrder(root);
}

// 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void preOrder(Node node){

    if(node == null)
        return;

    System.out.println(node.e);
    preOrder(node.left);
    preOrder(node.right);
}

// 二分搜索树的中序遍历
public void inOrder(){
    inOrder(root);
}

// 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void inOrder(Node node){

    if(node == null)
        return;

    inOrder(node.left);
    System.out.println(node.e);
    inOrder(node.right);
}

// 二分搜索树的后序遍历
public void postOrder(){
    postOrder(root);
}

// 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
private void postOrder(Node node){

    if(node == null)
        return;

    postOrder(node.left);
    postOrder(node.right);
    System.out.println(node.e);
}

// 二分搜索树的层序遍历
public void levelOrder(){

    Queue<Node> q = new LinkedList<>();
    q.add(root);
    while(!q.isEmpty()){
        Node cur = q.remove();
        System.out.println(cur.e);

        if(cur.left != null)
            q.add(cur.left);
        if(cur.right != null)
            q.add(cur.right);
    }
}

// 二分搜索树的非递归前序遍历
public void preOrderNR(){

    Stack<Node> stack = new Stack<>();
    stack.push(root);
    while(!stack.isEmpty()){
        Node cur = stack.pop();
        System.out.println(cur.e);

        if(cur.right != null)
            stack.push(cur.right);
        if(cur.left != null)
            stack.push(cur.left);
    }
}

5、返回二分搜索树中的最大最小元素

借助二分搜索树的性质，我们可以通过递归找到最小元素和最大元素的节点，然后通过节点返回最小和最大元素即可；

// 寻找二分搜索树的最小元素
public E minimum(){
    if(size == 0)
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");

    return minimum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
	//递归终止条件
    if(node.left == null)
        return node;

    //递归过程
    return minimum(node.left);
}

// 寻找二分搜索树的最大元素
public E maximum(){
    if(size == 0)
        throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

    return maximum(root).e;
}

// 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
private Node maximum(Node node){
	//递归终止条件
    if(node.right == null)
        return node;

	//递归过程
    return maximum(node.right);
}

6、从二分搜索树中删除节点

删除节点是最麻烦的操作；

通过递归实现删除最小和最大节点，这一点比较简单；

当删除普通节点时，又会分为三种情况，待删除节点的左子树为空，待删除节点的右子树为空，待删除节点的左右子树都不为空；如下所示，代码中有详细注释；

// 从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值
public E removeMin(){
    E ret = minimum();
    root = removeMin(root);
    return ret;
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){

    if(node.left == null){
        Node rightNode = node.right;
        node.right = null;
        size --;
        return rightNode;
    }

    node.left = removeMin(node.left);
    return node;
}

// 从二分搜索树中删除最大值所在节点
public E removeMax(){
    E ret = maximum();
    root = removeMax(root);
    return ret;
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMax(Node node){

    if(node.right == null){
        Node leftNode = node.left;
        node.left = null;
        size --;
        return leftNode;
    }

    node.right = removeMax(node.right);
    return node;
}

// 从二分搜索树中删除元素为e的节点
public void remove(E e){
    root = remove(root, e);
}

// 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node remove(Node node, E e){

    if( node == null )
        return null;

    if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
        node.left = remove(node.left , e);
        return node;
    }
    else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
        node.right = remove(node.right, e);
        return node;
    }
    else{   // e.compareTo(node.e) == 0

        // 待删除节点左子树为空的情况
        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }

        // 待删除节点右子树为空的情况
        if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            return leftNode;
        }

        // 待删除节点左右子树均不为空的情况

        // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
        // 用这个节点顶替待删除节点的位置
        Node successor = minimum(node.right);
        successor.right = removeMin(node.right);
        successor.left = node.left;

        node.left = node.right = null;

        return successor;
    }
}

7、重写toString方法打印二分搜索树

因为二分搜索树是树形结构，不像数组或者链表那样是线性结构，所以打印时我们采取了一点策略，层级越深的节点前面--越多；

@Override
public String toString(){
    StringBuilder res = new StringBuilder();
    generateBSTString(root, 0, res);
    return res.toString();
}

// 生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字符串
private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res){

    if(node == null){
        res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
        return;
    }

    res.append(generateDepthString(depth) + node.e +"\n");
    generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
    generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
}

private String generateDepthString(int depth){
    StringBuilder res = new StringBuilder();
    for(int i = 0 ; i < depth ; i ++)
        res.append("--");
    return res.toString();
}

8、二分搜索树全部代码

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Stack;

public class BST<E extends Comparable<E>> {

    private class Node{
        public E e;
        public Node left, right;

        public Node(E e){
            this.e = e;
            left = null;
            right = null;
        }
    }

    private Node root;
    private int size;

    public BST(){
        root = null;
        size = 0;
    }

    public int size(){
        return size;
    }

    public boolean isEmpty(){
        return size == 0;
    }

    // 向二分搜索树中添加新的元素e
    public void add(E e){
        root = add(root, e);
    }

    // 向以node为根的二分搜索树中插入元素e，递归算法
    // 返回插入新节点后二分搜索树的根
    private Node add(Node node, E e){

        if(node == null){
            size ++;
            return new Node(e);
        }

        if(e.compareTo(node.e) < 0)
            node.left = add(node.left, e);
        else if(e.compareTo(node.e) > 0)
            node.right = add(node.right, e);

        return node;
    }

    // 看二分搜索树中是否包含元素e
    public boolean contains(E e){
        return contains(root, e);
    }

    // 看以node为根的二分搜索树中是否包含元素e, 递归算法
    private boolean contains(Node node, E e){

        if(node == null)
            return false;

        if(e.compareTo(node.e) == 0)
            return true;
        else if(e.compareTo(node.e) < 0)
            return contains(node.left, e);
        else // e.compareTo(node.e) > 0
            return contains(node.right, e);
    }

    // 二分搜索树的前序遍历
    public void preOrder(){
        preOrder(root);
    }

    // 前序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void preOrder(Node node){

        if(node == null)
            return;

        System.out.println(node.e);
        preOrder(node.left);
        preOrder(node.right);
    }

    // 二分搜索树的非递归前序遍历
    public void preOrderNR(){

        Stack<Node> stack = new Stack<>();
        stack.push(root);
        while(!stack.isEmpty()){
            Node cur = stack.pop();
            System.out.println(cur.e);

            if(cur.right != null)
                stack.push(cur.right);
            if(cur.left != null)
                stack.push(cur.left);
        }
    }

    // 二分搜索树的中序遍历
    public void inOrder(){
        inOrder(root);
    }

    // 中序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void inOrder(Node node){

        if(node == null)
            return;

        inOrder(node.left);
        System.out.println(node.e);
        inOrder(node.right);
    }

    // 二分搜索树的后序遍历
    public void postOrder(){
        postOrder(root);
    }

    // 后序遍历以node为根的二分搜索树, 递归算法
    private void postOrder(Node node){

        if(node == null)
            return;

        postOrder(node.left);
        postOrder(node.right);
        System.out.println(node.e);
    }

    // 二分搜索树的层序遍历
    public void levelOrder(){

        Queue<Node> q = new LinkedList<>();
        q.add(root);
        while(!q.isEmpty()){
            Node cur = q.remove();
            System.out.println(cur.e);

            if(cur.left != null)
                q.add(cur.left);
            if(cur.right != null)
                q.add(cur.right);
        }
    }

    // 寻找二分搜索树的最小元素
    public E minimum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty!");

        return minimum(root).e;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
    private Node minimum(Node node){
        if(node.left == null)
            return node;
        return minimum(node.left);
    }

    // 寻找二分搜索树的最大元素
    public E maximum(){
        if(size == 0)
            throw new IllegalArgumentException("BST is empty");

        return maximum(root).e;
    }

    // 返回以node为根的二分搜索树的最大值所在的节点
    private Node maximum(Node node){
        if(node.right == null)
            return node;

        return maximum(node.right);
    }

    // 从二分搜索树中删除最小值所在节点, 返回最小值
    public E removeMin(){
        E ret = minimum();
        root = removeMin(root);
        return ret;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMin(Node node){

        if(node.left == null){
            Node rightNode = node.right;
            node.right = null;
            size --;
            return rightNode;
        }

        node.left = removeMin(node.left);
        return node;
    }

    // 从二分搜索树中删除最大值所在节点
    public E removeMax(){
        E ret = maximum();
        root = removeMax(root);
        return ret;
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中的最大节点
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node removeMax(Node node){

        if(node.right == null){
            Node leftNode = node.left;
            node.left = null;
            size --;
            return leftNode;
        }

        node.right = removeMax(node.right);
        return node;
    }

    // 从二分搜索树中删除元素为e的节点
    public void remove(E e){
        root = remove(root, e);
    }

    // 删除掉以node为根的二分搜索树中值为e的节点, 递归算法
    // 返回删除节点后新的二分搜索树的根
    private Node remove(Node node, E e){

        if( node == null )
            return null;

        if( e.compareTo(node.e) < 0 ){
            node.left = remove(node.left , e);
            return node;
        }
        else if(e.compareTo(node.e) > 0 ){
            node.right = remove(node.right, e);
            return node;
        }
        else{   // e.compareTo(node.e) == 0

            // 待删除节点左子树为空的情况
            if(node.left == null){
                Node rightNode = node.right;
                node.right = null;
                size --;
                return rightNode;
            }

            // 待删除节点右子树为空的情况
            if(node.right == null){
                Node leftNode = node.left;
                node.left = null;
                size --;
                return leftNode;
            }

            // 待删除节点左右子树均不为空的情况

            // 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
            // 用这个节点顶替待删除节点的位置
            Node successor = minimum(node.right);
            successor.right = removeMin(node.right);
            successor.left = node.left;

            node.left = node.right = null;

            return successor;
        }
    }

    @Override
    public String toString(){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        generateBSTString(root, 0, res);
        return res.toString();
    }

    // 生成以node为根节点，深度为depth的描述二叉树的字符串
    private void generateBSTString(Node node, int depth, StringBuilder res){

        if(node == null){
            res.append(generateDepthString(depth) + "null\n");
            return;
        }

        res.append(generateDepthString(depth) + node.e +"\n");
        generateBSTString(node.left, depth + 1, res);
        generateBSTString(node.right, depth + 1, res);
    }

    private String generateDepthString(int depth){
        StringBuilder res = new StringBuilder();
        for(int i = 0 ; i < depth ; i ++)
            res.append("--");
        return res.toString();
    }
}