逆元

常用的求逆元的方法有扩展欧几里得和费马小定理， 因为扩展欧几里得我还不会， 这里介绍一下费马小定理。

逆元的定义

有正整数 a a a和质数 p p p，满足 a x % p = 1 ax\%p=1 ax%p=1的最小正整数 x x x就称为是 a a a的逆元

逆元的作用

为什么要用到逆元呢？
在加、减、乘法中，都有如下等式：
( a + b ) % p = ( a % p + b % p ) % p (a+b)\%p=(a\%p+b\%p)\%p (a+b)%p=(a%p+b%p)%p
( a − b ) % p = ( a % p − b % p ) % p (a-b)\%p=(a\%p-b\%p)\%p (a−b)%p=(a%p−b%p)%p
( a × b ) % p = ( a % p × b % p ) % p (a\times b)\%p=(a\%p\times b\%p)\%p (a×b)%p=(a%p×b%p)%p
除法例外，但是有了逆元之后，就有以下等式
a b % p = ( a × x ) % p \frac{a}{b}\%p=(a\times x)\%p ba​%p=(a×x)%p

其中 x x x 就称为 a a a模 b b b的逆元

费马小定理

费马小定理 百度百科

可以简单的理解成：如果 p p p是一个质数，而整数 a a a不是 p p p的倍数，则有 a p − 1 % p = 1 a ^ {p-1}\%p=1 ap−1%p=1

显然，当 p p p为质数时，有 ( a × a p − 2 ) % p = 1 (a\times a ^ {p-2})\%p=1 (a×ap−2)%p=1，那么 a p − 2 a^{p-2} ap−2就是a的逆元。

这里我们可以用快速幂求得 a a a的逆元 x x x
代码如下：

ll quick_pow(ll a, ll b)
{
    ll res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res *= a;
        b /= 2;
        a = a * a % mod;
        res %= mod;
    }
    return res % mod;
}
inline ll get_niyuan(ll a)
{
    return quick_pow(a, mod - 2);
}