同余

设整数a，b，n(n ≠0)，如果a-b是n的整数倍，则a≡b(mod n)，即a同余于b模n。也可理解为a/n的余数等于b/n的余数。
(mod n)运算将所有的整数(无论小于n还是大于n)，都映射到{0,1,…,n-1}组成的集合。
模算术的性质：
(a mod n) + (b mod n) = (a+b) mod n
(a mod n) - (b mod n) = (a-b) mod n
(a mod n) * (b mod n) = (a*b) mod n

性质

性质一、有整数a，b，c，n(n ≠0)：
如果a≡b(mod n)， b≡c(mod n) 那么a≡c(mod n) (传递性)

证明：因为a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，
即a=b+k1n，b=c+ k2n，
所以a=c+ k2n+k1n=c+(k1+k2)n，
即a等于c加上n的整数倍，即a≡c(mod n)。

性质二、如果a≡b(mod n)， c≡d(mod n) 那么：
a+c≡b+d(mod n)， a-c≡b-d(mod n)， ac≡bd (mod n)

证明：ac≡bd (mod n) 因为a≡b(mod n)， c≡d(mod n)，即a=b+k1n，c=d+k2n，
所以，ac=(b+k1n)(d+k2n)=bd+(bk2+dk1+nk1k2)n, 其中K=(bk2+dk1+nk1k2)为整数，
即：ac=bd+Kn，即：ac≡bd (mod n)。

除法

设整数a，b，c，n(n ≠0)，且gcd(a, n)=1。
如果ab≡ac (mod n)，那么b≡c (mod n)（消去律）

证明：∵ gcd(a, n)=1，∴有x和y，使ax+ny=1 两边同乘以(b-c): (b-c)(ax+ny)=b-c
即:(ab-ac)x+n(b-c)y=b-c ……① ∵ ab≡ac (mod n), 即ab=ac+k1n, ∴ab-ac
是n的倍数同时，n(b-c)y显然也是n的倍数所以，:(ab-ac)x+n(b-c)y也是n的倍数，假设是k2倍则①式变为：b-c=
k2n 即b≡c (mod n) 模运算消去律基础

欧几里德算法(Euclid)

求最大公约数，辗转相除直到余数为零
对于任意非负整数a和任意正整数b，有： gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
求：gcd(482,1180)

在这里插入图片描述

保证机密性

在这里插入图片描述
Kae ：Alice的加密秘钥
Kad： Alice的解密秘钥
Kbe： Bob的加密秘钥
Kbd ：Bob的解密秘钥

保证真实性

在这里插入图片描述
Kad： Alice的私钥
Kae ：Alice的公钥

既保证机密性又保证真实性

在这里插入图片描述
Kad： Alice的私钥
Kae ：Alice的公钥
Kbe： Bob的公钥
Kbd ：Bob的私钥

选p=7，q=17。
求n=p×q=119，φ(n)=(p-1)(q-1)=96。

取e=5，满足1<e<φ(n)，且gcd(φ(n),e)=1。
确定满足d·e=1 mod 96且小于96的d，
因为77×5=385=4×96+1，所以d为77。
因此公开钥为{5，119}，秘密钥为{77，119}。
设明文m=19，则由加密过程得密文为
C=195 mod 119≡2476099 mod 119=66
解密为6677mod 119=19