快速幂
快速幂是一种能够对m的n次幂快速进行计算的一种算法。能在log(n)的时间内求出结果。
传统算法
一般情况下我们会想到直接对m乘n次不就得到了m的n次幂了吗？也就是下面的这种算法，我们可以看到它的时间复杂度是O(n)。
private static double power1(int a,int b){
double res = 1;
for (int i = 0; i < b ; i++){
res *= a;
}
return a == 0 ? 0 : res;
}
递归快速幂
递归快速幂的思想大致如下：
2^15可以分解成求2^7 * 2^7 * 2，2^7分解为2^3 * 2^3 * 2
2^3分解为2^1 * 2^1 * 2，当幂次为1的时候就是递归的边界条件，我们直接return。我们可以看到2^15依赖2^7的计算，2^7依赖2^3，
所以我们可以用递归来实现它。
private static double power2(int a,int b){
if(b == 1){
return a;
}
if((b & 1) == 1){
return power2(a,b - 1) * a;
}else {
double temp = power2(a,b / 2);
return temp * temp;
}
}
非递归快速幂
非递归快速幂的思想大致如下：
我们通过递归快速幂可以看到不断除以2，是不是跟右移动一位是一样的？所以我们换个角度，从n这个幂次的二进制出发，例如2^42，我们可以将42化成101010的二进制。
上述式子我们是很容易知晓的，指数相加。可以看到我们把101010拆成了100000和1010，这是因为我们在计算的过程中，会先计算m * m == m^2=m^10(2)，然后再计算(m * m) * (m * m) == m^4==m^100(2) ，m^8==m^1000(2)不就是对指数在移位吗？有多少位二进制就计算几次。
所以像计算2^100000(2)这种我们只需要移动100000(2)的长度6就行了，每次将上次的结果*结果得到新结果，幂次就会 * 2啦，我们知道* 2是会后面补0的，所以自然就慢慢得到100000，那么新结果这个时候就是我们2^100000(2)，首先2^1 * 2^1 变成了2^10(2)，然后2^2*2^2变成了2^100(2)，最后通过5次这样的计算我们就可以算到2^100000(2)。
回归正题，我们还有2^1010(2)没求呢？2^1010(2)分解成2^1000(2) * 2^10(2)，2^1000(2)和2^10(2)我们是不是在上述求2^100000(2)的过程中会有计算到2^1000(2)和2^10(2)的步骤呢？所以我们只需要在计算到这的时候，记录一下当前的值就行了。根据我们的拆分规则，以为1为分界点的，101010(2)即100000(2) + 1000(2) + 10(2)具体可以回归到上图观察下。每次我们遇到位数为1的时候就需要记录一下，以便于贡献给下次为1的时候计算。具体代码如下：
private static double power3(int a,int b){
double res = 1;
double base = a;
while(b > 0) {
if ((b & 1) == 1) {
res *= base;
}
base *= base;
b >>= 1;
}
return res;
}
三种算法时间对比
public class Main {
public static void main(String[] args) {
long startTime = System.currentTimeMillis();
System.out.println(power1(2,100000));
System.out.println(System.currentTimeMillis() - startTime);
startTime = System.currentTimeMillis();
System.out.println(power2(2,100000));
System.out.println(System.currentTimeMillis() - startTime);
startTime = System.currentTimeMillis();
System.out.println(power3(2,100000));
System.out.println(System.currentTimeMillis() - startTime);
}
private static double power1(int a,int b){
double res = 1;
for (int i = 0; i < b ; i++){
res *= a;
}
return a == 0 ? 0 : res;
}
private static double power2(int a,int b){
if(b == 1){
return a;
}
if((b & 1) == 1){
return power2(a,b - 1) * a;
}else {
double temp = power2(a,b / 2);
return temp * temp;
}
}
private static double power3(int a,int b){
double res = 1;
double base = a;
while(b > 0) {
if ((b & 1) == 1) {
res *= base;
}
base *= base;
b >>= 1;
}
return res;
}
}
PS:这里的Infinity表示超出范围了，这里我没有进行取模运算，只是为了看下算法的执行时间。
我们可以看到传统算法为11，而其他两种为0，在数据量特别大的时候，这种对比是特别明显的。传统的为O(n)，快速幂为O(logn)，所以为什么有这么大差别很明显了。
最后
感谢大家的阅读，另外快速幂在很多地方都是可以用到的，准确来说它就是一种思想，在计算幂时候的一种思想，它不仅仅用于求m的n次幂，还可以用来求矩阵的幂次（矩阵快速幂），感兴趣的可以取了解一下。
最近一直在面试，总想着上岸再好好写文章，现在放平心态，每次学习都记录成文章或笔记，加油~ - ~。
