掌握 harris 角点检测原理，完成图像的角点检测实验，分析窗口参数对角点 检测的影响，讨论角点检测的不变性，等变性和定性

基本原理

人眼对角点的识别通常是在一个局部的小区域或小窗口完成的。如果在各个方向 上移动这个特征的小窗口，窗口内区域的灰度发生了较大的变化，那么就认为在窗口内遇到了角点。如果这个特定的窗口在图像各个方向上移动时，窗口内图像 的灰度没有发生变化，那么窗口内就不存在角点；如果窗口在某一个方向移动时，窗口内图像的灰度发生了较大的变化，而在另一些方向上没有发生变化，那么， 窗口内的图像可能就是一条直线的线段。

对于图像 I(x,y)，当在点(x,y)处平移(Δx,Δy)后的自相似性，可以通过自相关函数 给出： c(x,y;Δx,Δy)=∑(u,v)∈W(x,y)w(u,v)(I(u,v)–I(u+Δx,v+Δy))2

其中，W(x,y)是以点(x,y)为中心的窗口，w(u,v)为加权函数，它既可是常数，也 可以是高斯加权函数。 根据泰勒展开，对图像 I(x,y)在平移(Δx,Δy)后进行一阶近似： I(u+Δx,v+Δy)=I(u,v)+Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy+O(Δx2,Δy2)≈I(u,v)+Ix(u,v)Δx+Iy(u,v) Δy

其中，Ix,Iy 是图像 I(x,y)的偏导数，这样的话，自相关函数则可以简化为： c(x,y;Δx,Δy)≈∑w(Ix(u,v)Δx+Iy(u,v)Δy)2=[Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy]

其中M(x,y)=∑w[Ix(x,y)2Ix(x,y)Iy(x,y)Ix(x,y)Iy(x,y)Iy(x,y)2]=∑wIx(x,y)2∑wIx(x,y) Iy(x,y)∑wIx(x,y)Iy(x,y)∑wIy(x,y)2=[ACCB]

也就是说图像 I(x,y)在点(x,y)处平移(Δx,Δy)后的自相关函数可以近似为二项函数：c(x,y;Δx,Δy)≈AΔx2+2CΔxΔy+BΔy2 其中A=∑wI2x,B=∑wI2y,C=∑wIxIy 二次项函数本质上就是一个椭圆函数。椭圆的扁率和尺寸是由 M(x,y)的特征值 λ1、λ2 决定的，椭贺的方向是由 M(x,y)的特征矢量决定的，如下图所示，椭圆方程为： [Δx,Δy]M(x,y)[ΔxΔy]=1

椭圆函数特征值与图像中的角点、直线（边缘）和平面之间的关系如下图所示。 共可分为三种情况： 图像中的直线。一个特征值大，另一个特征值小，λ1?λ2 或λ2?λ1。自相关函数 值在某一方向上大，在其他方向上小。 图像中的平面。两个特征值都小，且近似相等；自相关函数数值在各个方向上都 小。图像中的角点。两个特征值都大，且近似相等，自相关函数在所有方向都增大。 根据二次项函数特征值的计算公式，我们可以求 M(x,y)矩阵的特征值。但是 Harris 给出的角点差别方法并不需要计算具体的特征值，而是计算一个角点响应 值 R 来判断角点。R 的计算公式为： R=detM?α(traceM)2 式中，detM 为矩阵 M=[ABBC]的行列式；traceM 为矩阵 M 的直迹；α为经常常 数，取值范围为 0.04~0.06。事实上，特征是隐含在 detM 和 traceM 中，因为， detM=λ1λ2=AC?B2 traceM=λ2+λ2=A+C