树

树的常用术语

用来连线来表示相邻节点之间的关系，我们叫作父子关系。

A 节点就是 B 节点的父节点，B 节点是 A 节点的子节点。B、C、D 这三个节点的父节点是同一个节点，所以它们之间互称为兄弟节点。我们把没有父节点的节点叫作根节点，也就是图中的节点 E。我们把没有子节点的节点叫作叶子节点或者叶节点，比如图中的 G、H、I、J、K、L 都是叶子节点。

结点拥有的子树数称为结点的度。度为0的结点称为叶结点；度不为0的结点称为分支结点。除根结点之外，分支结点也称为内部结点。树的度是树内各结点的度的最大值。

高度、深度、层数

节点的高度 = 节点到叶子节点的最长路径(边数)

节点的深度 = 根节点到这个节点所经过的边的个数

节点的层数 = 节点的深度 + 1

树的高度 = 根节点的高度

二叉树

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

满二叉树：叶子节点全都在最底层，除了叶子节点之外，每个节点都有左右两 个子节点，这种二叉树就叫作满二叉树。

完全二叉树：叶子节点都在最底下两层，最后一层的叶子节点都靠左排列，并且除了最后一层，其他层的节点个数都要达到最大，这种二叉树叫作完全二叉树。

二叉树的存储结构

基于链表的链式存储结构

每个节点有三个字段，其中一个存储数据，另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要拎住根节点，就可以通过左右子节点的指针，把整棵树都串起来。

基于数组的顺序存储结构

如果节点 X 存储在数组中下标为 i 的位置，下标为 2 * i 的位置存储的就是左子节点，下标为 2 * i + 1 的位置存储的就是右子节点。反过来，下标为 i/2 的位置存储就是它的父节点。通过这种方式，我们只要知道根节点存储的位置(一般情况下，为了方便计算子节点，根节点会存储在下标为 1 的位置)，这样就可以通过下标计算，把整棵树都串起来。

不过，我刚刚举的例子是一棵完全二叉树，所以仅仅“浪费”了一个下标为 0 的存储位置。如果是非完全二叉树，其实会浪费比较多的数组存储空间。你可以看我举的下面这个例子。

所以，**如果某棵二叉树是一棵完全二叉树，那用数组存储无疑是最节省内存的一种方式。**因为数组的存储方式并不需要像链式存储法那样，要存储额外的左右子节点的指针。这也是为什么完全二叉树会单独拎出来的原因，也是为什么完全二叉树要求最后一层的子节点都靠左的原因。

堆其实就是一种完全二叉树，最常用的存储方式就是数组。

二叉树的遍历

前序遍历

对于树中的任意节点来说，先打印这个节点，然后再打印它的左子树，最后打印它的右子树。

中序遍历

对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它本身，最后打印它的右子树。

后序遍历

对于树中的任意节点来说，先打印它的左子树，然后再打印它的右子树，最后打印这个节点本身。

总结

**实际上，二叉树的前、中、后序遍历就是一个递归的过程。**比如，前序遍历，其实就是先打印根节点，然后再递归地打印左子树，最后递归地打印右子树。

从前面画的前、中、后序遍历的顺序图，可以看出来，每个节点最多会被访问两次，所以遍历操作的时间复杂度，跟节点的个数 n 成正比，也就是说二叉树遍历的时间复杂度是 O(n)。

二叉查找树

二叉查找树最大的特点就是，支持动态数据集合的快速插入、删除、查找操作。

二叉查找树要求，在树中的任意一个节点，其左子树中的每个节点的值，都要小于这个节点的值，而右子树节点的值都大于这个节点的值。

查找

我们先取根节点，如果它等于我们要查找的数据，那就返回。如果要查找的数据比根节点的值小，那就在左子树中递归查找；如果要查找的数据比根节点的值大，那就在右子树中递归查找。

插入

从根节点开始，依次比较要插入的数据和节点的大小关系。 如果要插入的数据比节点的数据大，并且节点的右子树为空，就将新数据直接插到右子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历右子树，查找插入位置。同理，如果要插入的数据比节点数值小，并且节点的左子树为空，就将新数据插入到左子节点的位置；如果不为空，就再递归遍历左子树，查找插入位置。

删除

针对要删除节点的子节点个数的不同，我们需要分三种情况来处理。

• 第一种情况是，如果要删除的节点没有子节点，我们只需要直接将父节点中，指向要删除节点的指针置为 null。比如图中的删除节点 55。

• 第二种情况是，如果要删除的节点只有一个子节点(只有左子节点或者右子节点)，我们只需要更新父节点中，指向要删除节点的指针，让它指向要删除节点的子节点就可以了。比如图中的删除节点 13。

• 第三种情况是，如果要删除的节点有两个子节点，这就比较复杂了。我们需要找到这个节点的右子树中的最小节点，把它替换到要删除的节点上。然后再删除掉这个最小节点，因为最小节点肯定没有左子节点(如果有左子结点，那就不是最小节点了)，所以，我们可以应用上面两条规则来删除这个最小节点。比如图中的删除节点 18。

实际上，关于二叉查找树的删除操作，还有个非常简单、取巧的方法，就是单纯将要删除的节点标记为“已删除”，但是并不真正从树中将这个节点去掉。这样原本删除的节点还需要存储在内存中，比较浪费内存空间，但是删除操作就变得简单了很多。而且，这种处理方法也并没有增加插入、查找操作代码实现的难度。

其他操作

除了插入、删除、查找操作之外，二叉查找树中还可以支持快速地查找最大节点和最小节点、前驱节点和后继节点。

**中序遍历二叉查找树，可以输出有序的数据序列，时间复杂度是 O(n)，非常高效。**因此，二叉查找树也叫作二叉排序树。

支持重复数据的二叉查找树

前面我们讲的二叉查找树的操作，针对的都是不存在键值相同的情况。那如果存储的两个对象键值相同，这种情况该怎么处理呢？我这里有两种解决方法。

• 第一种方法比较容易。我们可以用链表或支持动态扩容的数组来存储值相同的数据，然后在二叉查找树的节点里存储指向链表或数组的指针。
• 第二种方法比较不好理解，但是更优雅。
  • 插入：每个节点仍然只存储一个数据。在查找插入位置的过程中，如果碰到一个节点的值，与要插入数据的值相同，我们就将这个要插入的数据放到这个节点的右子树，也就是说，把这个新插入的数据当作大于这个节点的值来处理。
  • 查找：当要查找数据的时候，遇到值相同的节点，我们并不停止查找操作，而是继续在右子树中查找，直到遇到叶子节点，才停止。这样就可以把键值等于要查找值的所有节点都找出来。
  • 删除：先查找到每个要删除的节点，然后再按前面讲的删除操作的方法，依次删除。

二叉查找树的时间复杂度分析

在二叉查找树中，查找、插入、删除等很多操作的时间复杂度都跟树的高度成正比。两个极端情况的时间复杂度分别是 O(n) 和 O(logn)，分别对应二叉树退化成链表的情况和完全二叉树。

二叉查找树中，不管操作是插入、删除还是查找，时间复杂度其实都跟树的高度成正比，也就是 O(height)。既然这样，现在问题就转变成另外一个了，也就是，如何求一棵包含 n 个节点的完全二叉树的高度？

树的高度就等于最大层数减一，为了方便计算，我们转换成层来表示。从图中可以看出，包含 n 个节点的完全二叉树中，第一层包含 1 个节点，第二层包含 2 个节点，第三层包含 4 个节点，依次类推，下面一层节点个数是上一层的 2 倍，第 K 层包含的节点个数就是 2^(K-1)。

不过，对于完全二叉树来说，最后一层的节点个数有点儿不遵守上面的规律了。它包含的节点个数在 1 个到 2^(L-1) 个之间(我们假设最大层数是 L)。如果我们把每一层的节点个数加起来就是总的节点个数 n。也就是说，如果节点的个数是 n，那么 n 满足这样一个关系：

n >= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+1
n <= 1+2+4+8+...+2^(L-2)+2^(L-1)

借助等比数列的求和公式，我们可以计算出，L 的范围是 [log2(n+1), log2n +1]。完全二叉树的层数小于等于 log2n +1，也就是说，完全二叉树的高度小于等于 log2n，也就是说，完全二叉树的时间复杂度为 O(logn)。

有了高效的散列表，为什么还需要二叉查找树？

散列表的插入、删除、查找操作的时间复杂度可以做到常量级的O(1)，非常高效。而二叉查找树在比较平衡的情况下，插入、删除、查找操作时间复杂度才是O(logn)，相对散列表，好像并没有什么优势，那我们为什么还要用二叉查找树呢？

我认为有下面几个原因：

1. 散列表中的数据是无序存储的，如果要输出有序的数据，需要先进行排序。而对于二叉查找树来说，我们只需要中序遍历，就可以在 O(n) 的时间复杂度内，输出有序的数据序列。
2. 散列表扩容耗时很多，而且当遇到散列冲突时，性能不稳定，尽管二叉查找树的性能不稳定，但是在工程中，我们最常用的平衡二叉查找树的性能非常稳定，时间复杂度稳定在O(logn)。
3. 笼统地来说，尽管散列表的查找等操作的时间复杂度是常量级的，但因为哈希冲突的存在，这个常量不一定比 logn 小，所以实际的查找速度可能不一定比 O(logn) 快。加上哈希函数的耗时，也不一定就比平衡二叉查找树的效率高。
4. 散列表的构造比二叉查找树要复杂，需要考虑的东西很多。比如散列函数的设计、冲突解决办法、扩容、缩容等。平衡二叉查找树只需要考虑平衡性这一个问题，而且这个问题的解决方案比较成熟、固定。
5. 为了避免过多的散列冲突，散列表装载因子不能太大，特别是基于开放寻址法解决冲突的散列表，不然会浪费一定的存储空间。

综合这几点，平衡二叉查找树在某些方面还是优于散列表的，所以，这两者的存在并不冲突。我们在实际的开发过程中，需要结合具体的需求来选择使用哪一个。

平衡二叉查找树

平衡二叉树的严格定义是这样的：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于 1。

平衡二叉查找树不仅应该满足上面平衡二叉树的定义，还需要满足二叉查找树的特点，但是很多平衡二叉查找树其实并没有严格符合上面的定义，比如我们下面要说的红黑树。

我们学习数据结构和算法是为了应用到实际的开发中的，所以，我觉得没必去死抠定义。发明平衡二叉查找树这类数据结构的初衷是，解决普通二叉查找树在频繁的插入、删除等动态更新的情况下，出现时间复杂度退化的问题。

所以，平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”、比较“平衡”，不要出现左子树很高、右子树很矮的情况。这样就能让整棵树的高度相对来说低一些，相应的插入、删除、查找等操作的效率高一些。

红黑树

如何定义一棵红黑树？

平衡二叉查找树其实有很多，但是我们提到平衡二叉查找树，听到的基本都是红黑树，有时候，我们甚至默认平衡二叉查找树就是红黑树。那么到底什么是红黑树呢？

红黑树的英文是“Red-Black Tree”，简称 R-B Tree。它是一种含有红黑结点并能自平衡的二叉查找树，它必须满足以下性质：

• 每个节点要么是黑色，要么是红色。

• 根节点是黑色的

• 每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL)，也就是说，叶子节点不存储数据

• 每个红色结点的两个子结点一定都是黑色

• 任意一结点到其每个叶子结点的路径都包含数量相同的黑结点

这里的第二点要求“叶子节点都是黑色的空节点”，稍微有些奇怪，它主要是为了简化红黑树的代码实现而设置的，这节我们暂时不考虑这一点，所以，在画图和讲解的时候，我将黑色的、空的叶子节点都省略掉了。

为什么说红黑树是近似平衡的？

红黑树保证最长路径不超过最短路径的二倍，因而近似平衡。

平衡二叉查找树的初衷，是为了解决二叉查找树因为动态更新导致的性能退化问题。所以，“平衡”的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡”就等价为性能不会退化的太严重。

二叉查找树很多操作的性能都跟树的高度成正比。一棵极其平衡的二叉树(满二叉树或完全二叉树)的高度大约是 log2n，所以如果要证明红黑树是近似平衡的，我们只需要分析，红黑树的高度是否比较稳定地趋近 log2n 就好了。

红黑树的高度不是很好分析，我带你一步一步来推导。

首先，我们来看，如果我们将红色节点从红黑树中去掉，那单纯包含黑色节点的红黑树的高度是多少呢？

红色节点删除之后，有些节点就没有父节点了，它们会直接拿这些节点的祖父节点(父节点的父节点)作为父节点。所以，之前的二叉树就变成了四叉树。

前面红黑树的定义里有这么一条:从任意节点到可达的叶子节点的每个路径包含相同数目的黑色节点。我们从四叉树中取出某些节点，放到叶节点位置，四叉树就变成了完全二叉树。所以，仅包含黑色节点的四叉树的高度，比包含相同节点个数的完全二叉树的高度还要小。

上一节我们说，完全二叉树的高度近似 log2n，这里的四叉“黑树”的高度要低于完全二叉树，所以去掉红色节点的“黑树”的高度也不会超过 log2n。

我们现在知道只包含黑色节点的“黑树”的高度，那我们现在把红色节点加回去，高度会变成多少呢？

从上面我画的红黑树的例子和定义看，在红黑树中，红色节点不能相邻，也就是说，有一个红色节点就要至少有一个黑色节点，将它跟其他红色节点隔开。红黑树中包含最多黑色节点的路径不会超过 log2n，所以加入红色节点之后，最长路径不会超过 2log2n，也就是说，红黑树的高度近似 2log2n。

所以，红黑树的高度只比高度平衡的 AVL 树的高度(log2n)仅仅大了一倍，在性能上，下降得并不多。这样推导出来的结果不够精确，实际上红黑树的性能更好。

为什么在工程中大家都喜欢用红黑树?

我们前面提到 Treap、Splay Tree，绝大部分情况下，它们操作的效率都很高，但是也无法避免极端情况下时间复杂度的退化。尽管这种情况出现的概率不大，但是对于单次操作时间非常敏感的场景来说，它们并不适用。

AVL 树是一种高度平衡的二叉树，所以查找的效率非常高，但是，有利就有弊，AVL 树为了维持这种高度的平衡，就要付出更多的代价。每次插入、删除都要做调整，就比较复杂、耗时。所以，对于有频繁的插入、删除操作的数据集合，使用 AVL 树的代价就有点高了。

红黑树只是做到了近似平衡，并不是严格的平衡，所以在维护平衡的成本上，要比 AVL 树要低。

所以，红黑树的插入、删除、查找各种操作性能都比较稳定。对于工程应用来说，要面对各种异常情况，为了支撑这种工业级的应用，我们更倾向于这种性能稳定的平衡二叉查找树。

红黑树的实现原理

红黑树总是通过旋转和变色达到自平衡。三种操作：左旋、右旋和变色

• 左旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其右子结点变为旋转结点的父结点，右子结点的左子结点变为旋转结点的右子结点，左子结点保持不变。

  

• 右旋：以某个结点作为支点(旋转结点)，其左子结点变为旋转结点的父结点，左子结点的右子结点变为旋转结点的左子结点，右子结点保持不变。

  

• 变色：结点的颜色由红变黑或由黑变红。

红黑树的插入策略

插入操作结点的叫法约定

所有插入情景

红黑树的删除策略

删除操作结点的叫法约定

所有删除情景