栈
- 栈是一种操作受限的线性表，只允许在一端插入和删除数据。
- 栈是一种**后进先出(**Last In First Out，LIFO)的数据结构。
- 栈有两种操作：压入和弹出。
何时使用栈
相比数组和链表，栈带给我的只有限制，并没有任何优势。那我直接使用数组或者链表不就好了吗？为什么还要用这个“操作受限”的“栈”呢？事实上，从功能上来说，数组或链表确实可以替代栈，但你要知道，特定的数据结构是对特定场景的抽象，而且，数组或链表暴露了太多的操作接口，操作上的确灵活自由，但使用时就比较不可控，自然也就更容易出错。
当某个数据集合只涉及在一端插入和删除数据，并且满足后进先出、先进后出的特性，我们就应该首选“栈”这种数据结构。
如何实现一个栈
栈既可以用数组来实现，也可以用链表来实现。用数组实现的栈，我们叫作顺序栈，用链表实现的栈，我们叫作链式栈。
栈的复杂度分析
不管是顺序栈还是链式栈，我们存储数据只需要一个大小为 n 的数组就够了。在入栈和出栈过程中，只需要一两个临时变量存储空间，所以空间复杂度是 O(1)。入栈、出栈只涉及栈顶个别数据的操作，所以时间复杂度也是O(1)。
支持动态扩容的顺序栈
如何实现一个支持动态扩容的数组？当数组空间不够时，我们就重新申请一块更大的内存，将原来数组中数据统统拷贝过去。这样就实现了一个支持动态扩容的数组。所以，如果要实现一个支持动态扩容的栈，我们只需要底层依赖一个支持动态扩容的数组就可以了。
支持动态扩容的顺序栈的入栈、出栈操作的复杂度分析
对于出栈操作来说，我们不会涉及内存的重新申请和数据的搬移，所以出栈的时间复杂度仍然是O(1)。但是，对于入栈操作来说，情况就不一样了。当栈中有空闲空间时，入栈操作的时间复杂度为 O(1)。但当空间不够时，就需要重新申请内存和数据搬移，所以时间复杂度就变成了 O(n)。也就是说，对于入栈操作来说，最好情况时间复杂度是 O(1)，最坏情况时间复杂度是 O(n)。那平均情况下的时间复杂度又是多少呢?
摊还分析法
为了分析的方便，我们需要事先做一些假设和定义:
- 栈空间不够时，我们重新申请一个是原来大小两倍的数组
- 为了简化分析，假设只有入栈操作没有出栈操作
- 定义不涉及内存搬移的入栈操作为 simple-push 操作，时间复杂度为 O(1)。
如果当前栈大小为 K，并且已满，当再有新的数据要入栈时，就需要重新申请 2 倍大小的内存，并且做 K 个数据的搬移操作，然后再入栈。但是，接下来的 K-1 次入栈操作，我们都不需要再重新申请内存和搬移数据，所以这 K-1 次入栈操作都只需要一个 simple-push 操作就可以完成。
可以看出来，这 K 次入栈操作，总共涉及了 K 个数据的搬移，以及 K 次 simple-push 操作。将 K 个数据搬移均摊到 K 次入栈操作，那每个入栈操作只需要一个数据搬移和一个 simple-push 操作。以此类推，入栈操作的均摊时间复杂度就为 O(1)。
通过这个例子的实战分析，也印证了前面讲到的，均摊时间复杂度一般都等于最好情况时间复杂度。因为在大部分情况下，入栈操作的时间复杂度 O 都是 O(1)，只有在个别时刻才会退化为 O(n)，所以把耗时多的入栈操作的时间均摊到其他入栈操作上，平均情况下的耗时就接近 O(1)。
栈的应用
函数调用栈
操作系统给每个线程分配了一块独立的内存空间，这块内存被组织成“栈”这种结构, 用来存储函数调用时的临时变量。每进入一个函数，就会将临时变量作为一个栈帧入栈，当被调用函数执行完成，返回之后，将这个函数对应的栈帧出栈。
为什么函数调用要用“栈”来保存临时变量呢？用其他数据结构不行吗？
其实，我们不一定非要用栈来保存临时变量，只不过如果这个函数调用符合后进先出的特性，用栈这种数据结构来实现，是最顺理成章的选择。
从调用函数进入被调用函数，对于数据来说，变化的是什么呢？是作用域。所以根本上，只要能保证每进入一个新的函数，都是一个新的作用域就可以。而要实现这个，用栈就非常方便。在进入被调用函数的时候，分配一段栈空间给这个函数的变量，在函数结束的时候，将栈顶复位，正好回到调用函数的作用域内。
编译器如何利用栈来实现表达式求值
编译器就是通过两个栈来实现的。其中一个保存操作数的栈，另一个是保存运算符的栈。我们从左向右遍历表达式，当遇到数字，我们就直接压入操作数栈;当遇到运算符，就与运算符栈的栈顶元素进行比较。
如果比运算符栈顶元素的优先级高，就将当前运算符压入栈;如果比运算符栈顶元素的优先级低或者相同，从运算符栈中取栈顶运算符，从操作数栈的栈顶取 2 个操作数，然后进行计算，再把计算完的结果压入操作数栈，继续比较。
栈在括号匹配中的应用
我们用栈来保存未匹配的左括号，从左到右依次扫描字符串。当扫描到左括号时，则将其压入栈中；当扫描到右括号时，从栈顶取出一个左括号。如果能够匹配，比如“(”跟“)”匹配，“[”跟“]”匹配，“{”跟“}”匹配，则继续扫描剩下的字符串。如果扫描的过程中，遇到不能配对的右括号，或者栈中没有数据，则说明为非法格式。 当所有的括号都扫描完成之后，如果栈为空，则说明字符串为合法格式;否则，说明有未匹配的左括号，为非法格式。
浏览器利用栈实现前进后退功能
我们使用两个栈，X 和 Y，我们把首次浏览的页面依次压入栈 X，当点击后退按钮时，再依次从栈 X 中出栈，并将出栈的数据依次放入栈 Y。当我们点击前进按钮时，我们依次从栈 Y 中取出数据，放入栈 X 中。当栈 X 中没有数据时，那就说明没有页面可以继续后退浏览了。当栈 Y 中没有数据，那就说明没有页面可以点击前进按钮浏览了。
队列
- 队列是一种先进先出(First In First Out，FIFO)的数据结构。
- 队列有两种操作：入队和出队。
队列的实现
队列可以用数组来实现，也可以用链表来实现。用数组实现的队列叫作顺序队列，用链表实现的队列叫作链式队列。
顺序队列
队列需要两个指针：一个是 head 指针，指向队头；一个是 tail 指针，指向队尾。
- 创建初始队列的时候，head 和 tail 都为0
- 每当入队时，tail 指针加一
- 每当出队时，head 指针加一
随着不停地进行入队、出队操作，head 和 tail 都会持续往后移动。当 tail 移动到最右边，即使数组中还有空闲空间，也无法继续往队列中添加数据了。这种情况被称为假溢出。这个问题该如何解决呢?
- 采用数据搬移，如果没有空闲空间了，在下一次入队时，对当前队列内元素做一次搬移操作，再触发入队操作。
- 采用循环队列。
链式队列
循环队列
要想写出没有 bug 的循环队列的实现代码，最关键的是，确定好队空和队满的判定条件。
**新问题：**在循环队列中，空队特征是head = tail，队满时也会有 head = tail；判断条件将出现二义性。
解决方案有三种：
- 加设标志位，让删除动作使其为1，插入动作使其为0， 则可识别当前head == tail
- 使用一个计数器记录队列中元素个数（即队列长度）
- 人为浪费一个单元，令队满特征为 head = (tail +1) % N — 空闲单元法
阻塞队列和并发队列
阻塞队列其实就是在队列基础上增加了阻塞操作。简单来说，就是在队列为空的时候，从队头取数据会被阻塞。因为此时还没有数据可取，直到队列中有了数据才能返回;如果队列已经满了，那么插入数据的操作就会被阻塞，直到队列中有空闲位置后再插入数据，然后再返回。
线程安全的队列我们叫作并发队列。最简单直接的实现方式是直接在 enqueue()、dequeue() 方法上加锁，但是锁粒度大并发度会比较低，同一时刻仅允许一个存或者取操作。
队列在线程池等有限资源池中的应用
当我们向固定大小的线程池中请求一个线程时，如果线程池中没有空闲资源了，这个时候线程池如何处理这个请求?是拒绝请求还是排队请求?各种处理策略又是怎么实现的呢?
我们一般有两种处理策略。第一种是非阻塞的处理方式，直接拒绝任务请求;另一种是阻塞的处理方式，将请求排队，等到有空闲线程时，取出排队的请求继续处理。那如何存储排队的请求呢？队列这种数据结构很适合来存储排队请求。队列有基于链表和基于数组这两种实现方式。
基于链表的实现方式，可以实现一个支持无限排队的无界队列(unbounded queue)，但是可能会导致过多的请求排队等待，请求处理的响应时间过长。所以，针对响应时间比较敏感的系统，基于链表实现的无限排队的线程池是不合适的。
而基于数组实现的有界队列(bounded queue)，队列的大小有限，所以线程池中排队的请求超过队列大小时，接下来的请求就会被拒绝，这种方式对响应时间敏感的系统来说，就相对更加合理。不过，设置一个合理的队列大小，也是非常有讲究的。队列太大导致等待的请求太多，队列太小会导致无法充分利用系统资源、发挥最大性能。
队列可以应用在任何有限资源池中，用于排队请求，比如数据库连接池等。实际上，对于大部分资源有限的场景，当没有空闲资源时，基本上都可以通过“队列”这种数据结构来实现请求排队。
分治算法
分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。
分治法的重点是分析问题是否可以划分为规模较小的子问题，难点是如何划分以及划分之后如何将各个子问题的解合并成最终的解。
分而治之 (divide and conquer，D&C)，一种著名的递归式问题解决方法。
使用 D&C 解决问题的过程包括两个步骤：
- 找出基线条件，这种条件必须尽可能简单。
- 不断将问题分解(或者说缩小规模)，直到符合基线条件。
递归
如果使用循环，程序的性能可能更高；如果使用递归，程序可能更容易理解。如何选择要看什么对你来说更重要。 递归只是让解决方案更清晰，并没有性能上的优势。
基线条件和递归条件
由于递归函数调用自己，因此编写这样的函数时很容易出错，进而导致无限循环。所以编写递归函数时，必须告诉它何时停止递归。
正因为如此，每个递归函数都有两部分：基线条件和递归条件。递归条件指的是函数调用自己，而基线条件则指的是函数不再调用自己，从而避免形成无限循环。
递归需要满足的三个条件
- 一个问题的解可以分解为几个子问题的解
- 这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
- 存在递归终止条件
编写递归代码的关键
- 写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。
- 编写递归代码的关键是，只要遇到递归，我们就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。
递归的弊端
- 堆栈溢出
- 重复计算(可用散列表缓存已计算的值)
- 函数调用耗时多
- 空间复杂度高
