Codeforces 1487B 猫循环：题解｜刷题打卡

本文正在参与掘金团队号上线活动，点击 查看大厂春招职位

一、题目描述：

今天要写的题来自 Codeforces，是一道找规律的思维题。
Codeforces 1487B 猫循环：

题目大意： 你有两只猫，一只大猫 $A$ 和一只小猫 $B$，和 $n$ 个睡觉的位置，$A$ 和 $B$ 在开始时分别位于 $n$ 和 $1$ 处，在此后的每个时刻两只猫都会按照以下规则进行移动：

1. $A$ 从 $n$ 开始每次向左移动 $1$ 位，到达位置 $1$ 后会返回 $n$ 重新开始向左移动。
2. $B$ 从 $1$ 开始每次向右移动 $1$ 位，到达位置 $n$ 后会返回 $1$ 重新开始向右移动。但是如果大猫 $A$ 位于 $x + 1$, 小猫 B 位于 $x - 1$, 它们都要移动到 $x$，那么小猫 $B$ 会把位置让给大猫，自己多移动 $1$ 位，也就是 $A$ 移动到 $x$，而 $B$ 跳到 $x + 1$ 处。

第一行是样例个数 $t$，接下来是 $t$ 行样例，每行都有一个表示位置个数的 $n$ 和表示时刻的 $k$，你需要对每个样例都输出小猫 $B$ 的位置。

二、思路分析：

这道题最朴素的做法是直接模拟，但是由于数据量很大，所以肯定会超时，所以我们需要观察一下移动的性质。

1. 如果 $n$ 为偶数，那么 $A$ 和 $B$ 永远不会发生碰撞。我们可以考虑最简单的 $n = 2$ 的情形，初始时 $B$ 位于 $1$, $A$ 位于 $2$, 那下一步 $A$ 就会移动到 $1$, 而 $B$ 则会移动到 $2$, 后续的移动与此类似，不会发生冲突的可能。很容易就能得到： $ans = \begin{cases} k\,\%\,n,\,k\,\%\,n \neq 0\\ n,\,k\,\%\,n = 0 \end{cases}$

2. 如果 $n$ 为奇数，直接模拟就复杂一些了，我们可以先试试看。令 $n = 2m + 1$，$B$ 初始位于 $1$, $A$ 初始位于 $n$，第一次发生冲突前的时候 $B$ 位于 $m$，而 $A$ 位于 $m + 2$, 再移动一次后，$B$ 位于 $m + 2$, 而 $A$ 位于 $m + 1$。这是第一次发生冲突的情况，而下一次发生冲突的情况很容易就能推出：$A$ 位于 $2$，而 $B$ 位于 $n$，它们的下一步都是 $1$, 再移动一次后 $A$ 就到了 $1$, 而 $B$ 则位于 $2$。通过比较可以发现：$B$ 从 $1$ 移动到 $m$ 所经过的位置是 $m$ 个，而从 $m + 2$ 移动到 $n$ 所经过的位置也是 $m$ 个，也就是说从开始或者刚解决完冲突到再次发生冲突 $B$ 需要走 $m$ 步，而每次发生冲突都可以看作是 $B$ 多走了一步，我们把多走的步数加上，就和第一种情况计算的方式相同了。归纳可得： $ans = \begin{cases} (k + \lfloor(k - 1) / m\rfloor)\,\%\,n,\,(k + \lfloor(k - 1) / m\rfloor)\,\%\,n \neq 0\\ n,\,k + \lfloor(k - 1) / m\rfloor = 0 \end{cases}$

三、AC 代码：

#include <iostream>
using namespace std;

inline int calc(int n, int k) {
    k %= n;
    return k == 0 ? n : k;
}

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        int n, k;
        scanf("%d%d", &n, &k);
        int ans;
        if (n & 1) {
            int m = n / 2;
            k += (k - 1) / m;
        }
        ans = calc(n, k);
        printf("%d\n", ans);
    }
}

四、总结：

这种循环移动的题目考验的是找规律和归纳性质的能力，在平常的刷题过程中我们往往需要利用题目给出的性质化简操作，所以这种思维训练是必不可少的。最后，我们不妨改变题目中的一个条件，如果猫 $A$ 在到达 $1$ 后不是回到 $n$，而是从 $1$ 往右移动，答案会是什么呢？如果 $B$ 也不会回到 $1$ 重新开始呢？感兴趣的同学可以思考一下。