几乎必然收敛的含义1 几乎必然收敛的概念几乎必然收敛（almost sure convergence），又叫以概率1收敛

1 几乎必然收敛的概念

几乎必然收敛（almost sure convergence），又叫以概率1收敛（convergence with probability 1），定义为：随机变量序列 $\{X_n\}$ 满足

\mathbf{P}(\lim_{n\to \infty} X_n\to X)=1

则 $X_n\xrightarrow{\text{a. s. }}X$ 。

它的等价条件有很多，比如：

\mathbf{P}(\lim_{n\to \infty} |X_n-X|<\varepsilon)=1

或

\forall \varepsilon>0, \mathbf{P}(\limsup_{n\to \infty} |X_n-X|>\varepsilon)=0

上式又可用“不时发生”（infinitely often）的概念，写为

\forall \varepsilon>0, \mathbf{P}(|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. })=0

上式如何理解？可从 $\cup_{n=m}^{\infty}\{|X_n-X|>\varepsilon\}$ 入手，它表示给定 $m$ 后，使 $|X_n-X|>\varepsilon$ （ $n\geq m$ ）至少发生一次的 $\omega$ 的集合。而如果不管给定的 $m$ 有多大，在有些 $\omega$ 上， $|X_n-X|>\varepsilon$ （ $n\geq m$ ）都会至少发生一次，这些 $\omega$ 的集合就是“不时发生”的概念：

\begin{aligned} & \left\{|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. }\right\}\\ =& \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\}\\ =& \limsup_{n\to\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\} \end{aligned}

因此，几乎必然收敛可表示为

\begin{aligned} 0 =& \mathbf{P}\left(\left\{|X_n-X|>\varepsilon, \text{i. o. }\right\}\right)\\ =& \mathbf{P}(\cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\})\\ =& \mathbf{P}(\limsup_{n\to\infty} \left\{|X_n-X|>\varepsilon\right\}) \end{aligned}

再介绍一个定理：设 $\{E_n\in\mathcal{F}\}$ 为任意序列，则

$\mathbf{P}(\limsup_{n\to \infty} E_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbf{P}(\cup_{m=n}^{\infty} E_m)$ ；
$\mathbf{P}(\liminf_{n\to \infty} E_n)=\lim\limits_{n\to\infty}\mathbf{P}(\cap_{m=n}^{\infty} E_m)$ .

2 Borel-Cantelli引理

Borel-Cantelli引理是证明几乎必然收敛时用到最多的工具之一。引理分为两部分，一是收敛部分，讲收敛所需的充分条件，二是发散（divergence）部分，讲收敛所需的必要条件，即序列的独立性。

Borel-Cantelli引理：

对于任意一个事件序列 $\{E_n\in\mathcal{F}\}$ ，若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbf{P}(E_n)<\infty$ ，则 $\mathbf{P}(E_n, \text{i. o. })=0$ ；
对于独立事件的序列 $\{E_n\in\mathcal{F}\}$ ，若 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mathbf{P}(E_n)=\infty$ ，则 $\mathbf{P}(E_n, \text{i. o. })=1$ .