一.样本空间
1.定义:一个试验S可能出现的所有结果的集合。
2.事件A是样本空间的一个子集，称某事件A发生。
二.概率
1.朴素定义:事件发生的所有可能的方法数除以试验所有可能出现的结果。
注意: 1.要求样本空间S必须有限，且每一个样本的有相同的质量。
适用于:1.当问题存在对称性使得结果可能等同时出现。比如抛硬币正反落地的概率都是0.5，因为在物理上硬币是均匀对称的。
2.当把试验的每个不同结果设计为具有相同的可能性时。
3.当朴素定义被作为一个有效的零模型时。假设朴素定义只适用于观察将会产生怎样的预测，然后在通过比较观测数据和预测值来评估这种等可能假设是否成立。
2.非朴素定义(一般定义):一个概率空间包含一个样本空间S和一个概率函数P，给定一个事件A⊂S作为输入，返回[0,1]区间上的实数P(A)作为输出。函数P必须满足如下公理:1)P(∅)=0,P(S)=1;
2)如果A_1,A_2...是两两不相交的事件，则有P(⋃24_(j=1)^∞▒A_j )=∑24_(j=1)^∞▒P(A_j ) 。
• 从概率学派看，概率是指进行大量重复试验后出现某个结果的频率长期趋势；从贝叶斯学派看，概率是表示对一个事件的相信程度。
3.概率的性质:1)P(A ̅)=1-P(A)。
2)若A⊂B,则P(A)≤P(B)。
3)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
4.容斥原理: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)+P(A∩B∩C)
推广:P(⋃24_(i=1)^n▒A_i )=∑10_i▒P(A_i ) −∑10_(i<j)▒P(A_i∩A_j ) +∑10_(i<j<k)▒〖P(A_i 〖∩A〗_j 〖∩A〗k )−…+(−1)^(n+1) 〗 P(A_1∩…∩A_n )
eg:蒙特莫特配对问题
三.计数
1.乘法法则:一个复合试验，由两个子试验A和B构成。假设试验A有a种可能的结果，每一种情况又都对于试验B有b种可能的结果。那么这个复合试验有ab种结果。
注意: 通常认为试验是有先后顺序的，但是乘法法则并没有要求试验A必须在试验B前。
2.乘法法则针对有放回抽样和无放回抽样的计数规则:
• 有放回抽样: 从n个个体中抽取k个样本，有放回地一次选一个(已被选过的还可能再次被选)，此时结果有n^k 种可能的结果。 有顺序
▪ 如果不考虑顺序(只关心每个对象被抽中几次，不关心它们被抽中的顺序)，一共有((n+k−1)¦k) 种可能的结果。 无顺序
eg:Bose-Einstein值 将k个无法区分的粒子放进n个不同的盒子 将每个盒子对应n 粒子看做选中标记 粒子数对应总共被选中的次数 一个盒子中有3个粒子就代表这个盒子对应的对象被选中了3次。
• 无放回抽样：从n个个体种选k个，无放回地一次选一个(已被选过的不会再次被选)。有n(n-1)…(n-k+1)种可能的结果。
eg:生日问题
3.重复计数:在许多问题中，直接对每一种可能性计算且计算一次很困难，可以把每种情况刚好都计算c次，最后可以通过总数除以c来进行调整。
1)二项式系数:(n¦k) n选k 表示大小为n的集合存在大小为k的子集个数。
2) k≤n,(n¦k)=n!/(n−k)!k!
k>n,(n¦k)=0
3)二项式定理:(x+y)^n=∑_k▒(n¦k) x^k y^(n−k)
eg:扑克中的对子
四.讲述证明:通过解释进行证明。
1.选择补集: (n¦k)=(n¦(n-k)) 委员会和小组问题
2.团队队长:n((n−1)¦(k−1))=k(n¦k)
3.范德蒙恒等式:((m+n)¦k)=∑(j=0)^k▒(m¦j)(n¦(k−j)) m位男士n位女士选k人组成委员会
4.合作伙伴: (2n)!/(2^n∗n!)=(2n−1)(2n−3)…3∗1
