利用矩母函数求独立随机变量之和的分布在求独立的随机变量之和的分布时，可用矩母函数法。1 矩母函数法定理已知$X_1,\

在求独立的随机变量之和的分布时，可用矩母函数法。

1 矩母函数法

定理已知 $X_1,\ldots,X_n$ 为独立的随机变量，各种的矩母函数为 $M_1,\ldots,M_n$ ， $a_1,\ldots,a_n$ 为常数，则 $Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i$ 的矩母函数为

M_Y(t)=\text{E}[\exp(t\sum_{i=1}^{n}a_iX_i)]=\prod_{i=1}^{n}M_i(a_i t)

$X_1,\ldots,X_n$ 为来自 $\text{Bernoulli}(p)$ 分布的随机样本，则 $X_i$ 的矩母函数为

M(t)=1-p+p e^t

那么 $Y=\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的矩母函数为

M_Y(t)=(1-p+e^t)^n

这正是 $\text{Binomial}(n,p)$ 分布的矩母函数。

若 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i)$ ， $i=1,\ldots,n$ ，且相互独立，正态分布的矩母函数为

M_X(t) = \exp(t\mu+\dfrac{1}{2}t^2 \sigma^2)

那么 $Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i$ 的矩母函数为

\begin{aligned} M_Y(t)=&\prod_{i=1}^{n}\exp\left(a_i\mu_i t+\dfrac{1}{2}a_i^2 \sigma_i^2 t^2\right)\\ =&\exp\left(t\sum_{i=1}^{n}a_i\mu_i+\dfrac{t^2}{2}\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2 \right) \end{aligned}

因此 $Y\sim N(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2)$ 。