三、计算机运行小数出错原因二进制数表示整数二进制转换整数小数点后面部分的位权，第 1 位是 2 的－1 次幂、第 2 位

二进制数表示整数

二进制转换整数

跟处理整数一样, 各位数值与位权相乘再相加即可

小数点后面部分的位权，第 1 位是 2 的－1 次幂、第 2 位是 2 的－2 次幂

比如1011.0011, 转换成十进制

整数转换二进制数

十进制小数转换成二进制小数采用"乘2取整，顺序排列"法。

具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，此时0或1为二进制的最后一位。或者达到所要求的精度为止。

如：0.625=（0.101）B
0.625*2=1.25======取出整数部分1
0.25*2=0.5========取出整数部分0
0.5*2=1==========取出整数部分1

计算机运行出错的原因

有一些十进制小数无法转换成二进制小数

例如: 小数点后 4 位用二进制数表示时的数值范围为 0.0000～0.1111。因此，这里只能表示 0.5、0.25、0.125、0.0625 这四个二进制数小数点后面的位权组合而成（相加总和）的小数。将这些数值组合后能够表示的数值，即为表 3-1 中所示的无序的十进制数

我们根据十进制小数转换二进制小数规则中,当在转换过程中 * 2后的积的小数部分为0时,转换才会中止,所以只有十进制小数A * 2^n => B,B为整数才可以转换成精确的二进制值

所以 0.1, 0.2, 0.3...这样的值是不可能转换成精确的值的

浮点数

浮点数是指用符号、尾数、基数和指数这四部分来表示的小数。因为计算机内部使用的是二进制数，所以基数自然就是 2

浮点数分为双精度浮点数和单精度浮点数. 双精度浮点数用64位, 单精度浮点数用32位表示全体小数.

符号部分: 指用一个数据位来表示数值的符号, 1表示负, 0表示正或0

尾数部分: 用将小数点前面的值固定位1的正则表达式

指数部分: 用Excess表现

正则表达式和Excess系统

正则表达式

按照特定的规则来表示数据的形式即为正则表达式。在二进制数中,我们使用**"将小数点前面的值固定为1的正则表达式"**.

具体来讲, 就是将二进制数表示对小数左移或右移(指逻辑移位, 因为符号是独立的)数次后, 整数部分的第一位变为1, 第2位之后都为0,

Excess系统

通过将指数部分表示范围的中间值设为 0，使得负数不需要用符号来表示

当指数部分是 8 位单精度浮点数时，最大值 11111111 = 255 的 1/2，即 01111111 = 127（小数部分舍弃）表示的是 0，指数部分是 11 位双精度浮点数时，11111111111 = 2047 的 1/2，即 01111111111 = 1023（小数部分舍弃）表示的是 0。

我们以十进制的0.75为例,转换为二进制的浮点数

将0.75转换成二进制数 => 0.11
由于是正数, 确定符号位为 0
确定尾数部分, 0.11 左移 => 1.1 , 补齐23位 => 1.100 0000 0000 0000 0000 0000
确定指数部分, 由于左移一位, 所以需要2^-1与移位抵消, 指数部分为 -1, 在Excess系统中为127 -1 = 126, 二进制数为 => 01111110
所以最终为0-01111110-100 0000 0000 0000 0000 0000

我们再将其转换成十进制数进行验算.

尾数部分100 0000 0000 0000 0000 0000实际上为1.100 0000 0000 0000 0000 0000
所以十进制数为1.5, 而指数部分为-1,即2, 所以 1.5 * 2 = 0.75

如何避免计算机计算出错

计算机计算出错的原因之一是，采用浮点数来处理小数（另外，也有因“位溢出”而造成计算错误的情况）

首先回避策略,在精确度要求不是很高的场景下,允许误差存在
将小数转换为整数计算
使用BCD(Binary Coded Decimal) 也是一种使用二进制表示十进制的方法。

补: Java的BigDecimal类通过将浮点数转化为整数计算保证精确度的
BigDecimal的浮点数运算能保证精度的原理是什么？

二进制数和十六进制数

在以位为单位表示数据时，使用二进制数很方便，但如果位数太多，看起来就比较麻烦, 因此，在实际程序中，也经常会用十六进制数来代替二进制数。

二进制数的4位，正好相当于十六进制数的1位。在 C 语言程序中，只需在数值的开头加上 0x（0 和 x）就可以表示十六进制数。

例如: 32 位二进制数00111101110011001100110011001101 用十六进制数来表示的话，就是 3DCCCCCD 这个 8 位数, 所以通过使用十六进制数, 二进制数的位数能至少缩为原来的1/4,看起来更清晰

例如，1011.011 的低位补 0 后为 1011.0110，这时就可以表示为十六进制数 B.6。十六进制数的小数点后第 1 位的位权是 16，即 1/16 = 0.0625，

参考资料: