【面试高频系列】从一道经典题分享「二分模板」&「倍增乘法」... ｜刷题打卡题目描述这是 LeetCode 上的29.

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题目描述

这是 LeetCode 上的29. 两数相除，难度为 Medium。

给定两个整数，被除数 $dividend$ 和除数 $divisor$ 。

将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。

返回被除数 $dividend$ 除以除数 $divisor$ 得到的商。

整数除法的结果应当截去（ $truncate$ ）其小数部分。

例如： $truncate(8.345) = 8$ 以及 $truncate(-2.7335) = -2$ 。

示例 1:

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3

示例 2:

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2

提示：

被除数和除数均为 32 位有符号整数。
除数不为 0。
假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [ $−2^{31}$ , $2^{31}$ − 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 $2^{31}$ − 1。

二分 + 倍增乘法

由于题目限定了我们不能使用乘法、除法和 mod 运算符。

我们可以先实现一个「倍增乘法」，然后利用对于 $x$ 除以 $y$ ，结果 $x / y$ 必然落在范围 $[0, x]$ 的规律进行二分：

代码：

class Solution {
    public int divide(int a, int b) {
        long x = a, y = b;
        boolean isNeg = false;
        if ((x > 0 && y < 0) || (x < 0 && y > 0)) isNeg = true;
        if (x < 0) x = -x;
        if (y < 0) y = -y;
        long l = 0, r = x;
        while (l < r) {
            long mid = l + r + 1 >> 1;
            if (mul(mid, y) <= x) {
                l = mid;
            } else {
                r = mid - 1;
            }
        }
        long ans = isNeg ? -l : l;
        if (ans > Integer.MAX_VALUE || ans < Integer.MIN_VALUE) {
            return Integer.MAX_VALUE;
        }
        return (int)ans;
    }
    long mul(long a, long k) {
        long ans = 0;
        while (k > 0) {
            if ((k & 1) == 1) ans += a;
            k >>= 1;
            a += a;
        }
        return ans;
    }
}

时间复杂度：对 $x$ 采用的是二分策略。复杂度为 $O({log n})$
空间复杂度： $O(1)$

总结

这道题的解法，主要涉及的模板有两个。

一个是「二分」模板，一个是「快速乘法」模板。都是高频使用的模板。

其中「二分」模板其实有两套，主要是根据 $check(mid)$ 函数为 $true$ 时，需要调整的是 l 指针还是 r 指针来判断。

当 $check(mid) == true$ 调整的是 l 时：计算 mid 的方式应该为 mid = l + r + 1 >> 1：

long l = 0, r = 1000009;
while (l < r) {
    long mid = l + r + 1 >> 1;
    if (check(mid)) {
        l = mid;
    } else {
        r = mid - 1;
    }
}

当 $check(mid) == true$ 调整的是 r 时：计算 mid 的方式应该为 mid = l + r >> 1：

long l = 0, r = 1000009;
while (l < r) {
    long mid = l + r >> 1;
    if (check(mid)) {
        r = mid;
    } else {
        l = mid + 1;
    }
}

另外一个是「快速乘法」模板，采用了倍增的思想：

long mul(long a, long k) {
    long ans = 0;
    while (k > 0) {
        if ((k & 1) == 1) ans += a;
        k >>= 1;
        a += a;
    }
    return ans;
}

关于「二分」模板的说明

为啥修改左边指针 l 的时候要进行 +1 操作？

「模板一」的 +1 操作主要是为了避免发生「死循环」，因为 >> 和直接使用 / 一样，都属于「下取整」操作。

考虑 l = 0, r = 1 的简单情况，如果不 +1 的话，l + r >> 1 等于 0 + 1 / 2，l 仍然是 0，陷入死循环。

为啥模板不考虑 int 溢出问题？

事实上，二分模板确实有考虑 int 溢出的写法，评论区我也有提到，但是一般我们不会去用那样的模板，因为太难记了。

而且如果数据范围确实存在 int 溢出的情况，正确的做法是使用 long 数据结构，因为你无法确保只会在「二分」逻辑中进行下标运算，这里改用模板，在别的地方也可能会溢出。

使用 long 的说明

我知道肯定会有小伙伴提醒三叶：环境只能存储 32 位有符号整数，这一提示。

我认为这个提示有两层理解含义：

实现过程中完全不能使用 long
实现过程不限制使用 long，只是解释为什么某些情况下需要我们返回 $2^{31}$ − 1

在本题，我是按照第二种解释方式进行理解。

当然也可以按照第一种解释方式进行理解，在 7. 整数反转(简单) 中，我就提供了实现过程中不使用 long 的「完美解决」方案。可以看看 ~

不使用 long 其实十分简单，只需要将越界判断放到循环里即可，建议你动手试试 ~

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.29 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先将所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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