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一、斐波那契数列
- 所谓斐波那契数列，是指【当前项】的值等于【前两项】之和的数列：
| i i i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T ( i ) T(i) T(i) | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
- 该数列有递推公式如下：
T ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) T ( n − 1 ) + T ( n − 2 ) ( n > 2 ) T(n) = \begin{cases} 1 & (n = 0) \\ 1 & (n = 1) \\ T(n-1) + T(n-2) & (n > 2) \end{cases} T(n)=⎩⎪⎨⎪⎧11T(n−1)+T(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
二、斐波那契数列通项公式
1、思路
- 1）首先将 G ( n ) = T ( n ) + x T ( n − 1 ) G(n) = T(n) + xT(n-1) G(n)=T(n)+xT(n−1) 作为一个新的数列，求出这个数列的通项公式，很容易知道这个数列一定是一个等比数列，所以一定可以求出如下形式，其中 q q q 为常数：
G ( n ) G ( n − 1 ) = T ( n ) + x T ( n − 1 ) T ( n − 1 ) + x T ( n − 2 ) = q \frac{ G(n) } {G(n-1)}= \frac{T(n) + xT(n-1)} {T(n-1) + xT(n-2)} = q G(n−1)G(n)=T(n−1)+xT(n−2)T(n)+xT(n−1)=q - 2）于是，得到：
G ( n ) = T ( n ) + x T ( n − 1 ) = q n − 1 ( T ( 1 ) + x T ( 0 ) ) G(n) = T(n) + xT(n-1) = q^{n-1} (T(1) + xT(0)) G(n)=T(n)+xT(n−1)=qn−1(T(1)+xT(0)) - 3）继续构造 H ( n ) = T ( n ) + y q n H(n) = T(n) + yq^n H(n)=T(n)+yqn，同样有：
H ( n ) H ( n − 1 ) = T ( n ) + y q n T ( n − 1 ) + y q n − 1 = Q \frac{ H(n) } {H(n-1)}= \frac{T(n) + yq^n} {T(n-1) + yq^{n-1}} = Q H(n−1)H(n)=T(n−1)+yqn−1T(n)+yqn=Q - 4）然后求出 x 、 y 、 q ， Q x、y、q，Q x、y、q，Q 的值，代入即可求得最终公式；
2、详解
- 要求这个数列的通项公式，也就是求类似 T ( n ) = a T ( n − 1 ) + b T ( n − 2 ) T(n) = aT(n-1) + bT(n-2) T(n)=aT(n−1)+bT(n−2) 的通项公式，当 a = b = 1 a = b = 1 a=b=1 的时候，就是斐波那契数列了。求解的方法有很多，这里介绍一种比较普适的做法；
- 1）等式两边同时加上 x T ( n − 1 ) xT(n-1) xT(n−1)，等式关系不变，如下：
T ( n ) + x T ( n − 1 ) = a T ( n − 1 ) + x T ( n − 1 ) + b T ( n − 2 ) = ( a + x ) T ( n − 1 ) + b T ( n − 2 ) \begin{aligned} T(n) + xT(n-1) &= aT(n-1) + xT(n-1) + bT(n-2) \\ &= (a+x)T(n-1) + bT(n-2) \end{aligned} T(n)+xT(n−1)=aT(n−1)+xT(n−1)+bT(n−2)=(a+x)T(n−1)+bT(n−2) - 2）必然能够找到一个常量 x x x， 使得 T ( n ) + x T ( n − 1 ) T(n) + xT(n-1) T(n)+xT(n−1) 是一个等比数列，且公比为 a + x a+x a+x；
T ( n ) + x T ( n − 1 ) = a T ( n − 1 ) + x T ( n − 1 ) + b T ( n − 2 ) = ( a + x ) [ T ( n − 1 ) + b a + x T ( n − 2 ) ] \begin{aligned} T(n) + xT(n-1) &= aT(n-1) + xT(n-1) + bT(n-2) \\ &= (a+x) [ T(n-1) + \frac b{a+x} T(n-2) ] \end{aligned} T(n)+xT(n−1)=aT(n−1)+xT(n−1)+bT(n−2)=(a+x)[T(n−1)+a+xbT(n−2)] - 于是，便有：
x = b a + x x = \frac b{a+x} x=a+xb - 3）化简后得到一元二次方程，如下：
x 2 + a x − b = 0 x^2 + ax - b = 0 x2+ax−b=0 - 4）一元二次方程求根，得到：
x 1 = − a − a 2 + 4 b 2 x 2 = − a + a 2 + 4 b 2 x_1 = \frac {-a-\sqrt{a^2+4b} } {2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_2 = \frac {-a+\sqrt{a^2+4b} } {2} x1=2−a−a2+4b x2=2−a+a2+4b - 5）令公比 q = a + x q = a+x q=a+x，则有：
T ( n ) + x T ( n − 1 ) T ( n − 1 ) + x T ( n − 2 ) = q \frac{T(n) + xT(n-1)} {T(n-1) + xT(n-2)} = q T(n−1)+xT(n−2)T(n)+xT(n−1)=q - 6）通过累乘得到：
T ( n ) + x T ( n − 1 ) T ( n − 1 ) + x T ( n − 2 ) ∗ T ( n − 1 ) + x T ( n − 2 ) T ( n − 2 ) + x T ( n − 3 ) ∗ . . . ∗ T ( 2 ) + x T ( 1 ) T ( 1 ) + x T ( 0 ) = q ∗ q . . . q ⏟ n − 1 \frac{T(n) + xT(n-1)} {T(n-1) + xT(n-2)} * \frac{T(n-1) + xT(n-2)} {T(n-2) + xT(n-3)} *...* \frac{T(2) + xT(1)} {T(1) + xT(0)}= \underbrace{q*q...q}_{\rm n-1} T(n−1)+xT(n−2)T(n)+xT(n−1)∗T(n−2)+xT(n−3)T(n−1)+xT(n−2)∗...∗T(1)+xT(0)T(2)+xT(1)=n−1 q∗q...q - 7）化简后，令 p = T ( 1 ) + x T ( 0 ) p=T(1) + xT(0) p=T(1)+xT(0)，得到：
T ( n ) + x T ( n − 1 ) = q n − 1 ( T ( 1 ) + x T ( 0 ) ) = q n − 1 p \begin{aligned}T(n) + xT(n-1) &= q^{n-1} (T(1) + xT(0))\\ &= q^{n-1}p\end{aligned} T(n)+xT(n−1)=qn−1(T(1)+xT(0))=qn−1p - 8）继续参照上述方法，引入一个变量 y y y，等式两边同时加上 y q n yq^n yqn，使得 T ( n ) + y q n T(n) + yq^n T(n)+yqn 是一个公比为 − x -x −x 的等比数列，如下：
T ( n ) + y q n = − x T ( n − 1 ) + q n − 1 p + y q n = − x [ T ( n − 1 ) + q n − 1 p + y q n − x ] \begin{aligned} T(n) + yq^n &= -xT(n-1) + q^{n-1} p + yq^n \\ &= -x[T(n-1) + \frac {q^{n-1} p + yq^n} {-x}] \end{aligned} T(n)+yqn=−xT(n−1)+qn−1p+yqn=−x[T(n−1)+−xqn−1p+yqn] - 9）于是便有：
y q n − 1 = q n − 1 p + y q n − x yq^{n-1} = \frac {q^{n-1} p + yq^n} {-x} yqn−1=−xqn−1p+yqn - 10）等式两边同时除上 q n − 1 q^{n-1} qn−1，等式不变，如下：
y = p + y q − x y = \frac {p + yq} {-x} y=−xp+yq
求得 y = − p x + q = − T ( 1 ) + x T ( 0 ) 2 x + a \begin{aligned} y &= - \frac {p}{x+q} \\ &= - \frac {T(1) + xT(0)}{2x+a} \end{aligned} y=−x+qp=−2x+aT(1)+xT(0) - 11）同样通过累乘得到：
T ( n ) + y q n T ( n − 1 ) + y q n − 1 ∗ T ( n − 1 ) + y q n − 1 T ( n − 2 ) + y q n − 2 ∗ . . . ∗ T ( 1 ) + y q T ( 0 ) + y = ( − x ) ∗ ( − x ) . . . ( − x ) ⏟ n \frac{T(n) + yq^n} {T(n-1) + yq^{n-1}} * \frac{T(n-1) + yq^{n-1}} {T(n-2) + yq^{n-2}} *...* \frac{T(1) + yq} {T(0) + y}= \underbrace{(-x)*(-x)...(-x)}_{\rm n} T(n−1)+yqn−1T(n)+yqn∗T(n−2)+yqn−2T(n−1)+yqn−1∗...∗T(0)+yT(1)+yq=n (−x)∗(−x)...(−x) - 12）最后得到 T ( n ) T(n) T(n) 通项公式如下（其中 x 、 y 、 q x、y、q x、y、q 均为常量）：
T ( n ) = ( − x ) n ∗ ( T ( 0 ) + y ) − y q n = ( − x ) n 2 x + 1 − x − 1 2 x + 1 + x + 1 2 x + 1 ( x + 1 ) n = ( x + 1 ) n + 1 − x n + 1 2 x + 1 = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n + 1 − ( 1 − 5 2 ) n + 1 ] \begin{aligned} T(n) &= (-x)^n * (T(0)+y) - yq^n \\ &= (-x)^n \frac {2x+1-x-1}{2x+1} + \frac{x+1}{2x+1}(x+1)^n \\ &= \frac {(x+1)^{n+1} - x^{n+1}} {2x+1}\\ &= \frac {1}{\sqrt5} [(\frac {1+\sqrt5}{2})^{n+1} - (\frac {1-\sqrt5}{2})^{n+1}] \end{aligned} T(n)=(−x)n∗(T(0)+y)−yqn=(−x)n2x+12x+1−x−1+2x+1x+1(x+1)n=2x+1(x+1)n+1−xn+1=5 1[(21+5 )n+1−(21−5 )n+1] - 所以，斐波那契数列的通项公式如下：
T ( n ) = 1 5 [ ( 1 + 5 2 ) n + 1 − ( 1 − 5 2 ) n + 1 ] T(n) = \frac {1}{\sqrt5} [(\frac {1+\sqrt5}{2})^{n+1} - (\frac {1-\sqrt5}{2})^{n+1}] T(n)=5 1[(21+5 )n+1−(21−5 )n+1]
