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题目描述

通常，正整数 n 的阶乘是所有小于或等于 n 的正整数的乘积。例如，factorial(10) = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1。

相反，我们设计了一个笨阶乘 clumsy：在整数的递减序列中，我们以一个固定顺序的操作符序列来依次替换原有的乘法操作符：乘法(*)，除法(/)，加法(+)和减法(-)。

例如，clumsy(10) = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1。然而，这些运算仍然使用通常的算术运算顺序：我们在任何加、减步骤之前执行所有的乘法和除法步骤，并且按从左到右处理乘法和除法步骤。

另外，我们使用的除法是地板除法（floor division），所以 10 * 9 / 8 等于 11。这保证结果是一个整数。

实现上面定义的笨函数：给定一个整数 N，它返回 N 的笨阶乘。

示例 1：

输入：4
输出：7
解释：7 = 4 * 3 / 2 + 1

示例 2：

输入：10
输出：12
解释：12 = 10 * 9 / 8 + 7 - 6 * 5 / 4 + 3 - 2 * 1

提示：

1 <= N <= 10000
-2^31 <= answer <= 2^31 - 1  （答案保证符合 32 位整数。）

题解

当做一个表达式去计算

class Solution {
    public int clumsy(int N) {
        Deque<Integer> stack = new LinkedList<Integer>();
        stack.push(N);
        N--;

        int index = 0; // 用于控制乘、除、加、减
        while (N > 0) {
            if (index % 4 == 0) {
                stack.push(stack.pop() * N);
            } else if (index % 4 == 1) {
                stack.push(stack.pop() / N);
            } else if (index % 4 == 2) {
                stack.push(N);
            } else {
                stack.push(-N);
            }
            index++;
            N--;
        }

        // 把栈中所有的数字依次弹出求和
        int sum = 0;
        while (!stack.isEmpty()) {
            sum += stack.pop();
        }
        return sum;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N)$。从 $N$ 到 $1$ 每一个元素进栈一次，出栈一次。
• 空间复杂度：$O(N)$。由于「乘」「除」运算在进栈、出栈过程中被计算出来，最后一步弹出栈之前，栈里保存的是「加」「减」法项。

找规律

class Solution {
    public int clumsy(int N) {
        if (N <= 2) {
            return N;
        }
        if (N == 3) {
            return 6;
        } 

        int result = N * (N - 1) / (N - 2) + (N - 3);
        N = N - 4;
        while (N >= 4) {
            result = result - N * (N - 1) / (N - 2) + (N - 3);
            N -= 4;
        }
        result -= clumsy(N);
        return result;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N)$。其实是低于 $O(N)$ 的，接近于 $O(1)$
• 空间复杂度：$O(1)$。

数学推导

具体推导可以看官网的

class Solution {
    public int clumsy(int N) {
        if (N == 1) {
            return 1;
        } else if (N == 2) {
            return 2;
        } else if (N == 3) {
            return 6;
        } else if (N == 4) {
            return 7;
        }

        if (N % 4 == 0) {
            return N + 1;
        } else if (N % 4 <= 2) {
            return N + 2;
        } else {
            return N - 1;
        }
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(1)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。