题目描述
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 109
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths
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解题思路
思路1：动态规划：
- 定义状态：定义f(i,j)表述从start点到(i,j)的路径数量，其中i和j的范围分别为[0,m)、[0,n);
- 状态方程：由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此：想走到(i,j)有两种可能
- 从(i-1,j)向下走一步到达(i,j);
- 从(i,j-1)向右走一步到达(i,j);
- 转移方程为：f(i,j)=f(i-1,j)+f(i,j-1);
- 边界条件:f(0,0)=1,f(0,j)=1;f(i,0)=1;即：只有一行或者一列时，到达任意点的路径均为1条路径；
- 输出：最终输出为f(m-1,n-1);
时间复杂度：O(MN) 空间复杂度：O(MN)
代码
/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var uniquePaths = function(m, n) {
let dp= new Array(m).fill(0).map(()=>{ return new Array(n).fill(0)});
//dp[i][0]=1
// dp[0][j]=1;
for(let i=0;i<m;i++){
dp[i][0]=1;
}
for(let j=0;j<n;j++){
dp[0][j]=1;
}
for(let i=1;i<m;i++){
for(let j=1;j<n;j++){
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
// return dp[m-1][n-1];
return dp[m-1][n-1];
};
思路2：动态规划-降维
- 遍历列，扫描行，直到第n - 1列的第m - 1行，即点[m - 1, n - 1]
- 遍历列，dp[i]表示：到行i路径数。扫描行：本列dp[i] = 左列dp[i]→ + 上行dp[i - 1]↓
- 以m=3,n=3举例：
1 1 1
1 2 3
1 3 6
时间复杂度：O(MN) 空间复杂度：O(M)
代码
/**
* @param {number} m
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var uniquePaths = function(m, n) {
let dp= new Array(m).fill(1);
// 遍历列 第j列的第i行；
for(let j=1;j<n;j++){
// 扫描行
for(let i=1;i<m;i++){
dp[i]+=dp[i-1];
}
}
return dp[m-1]
};
