递归时间复杂度分析 —— 斐波那契数列#mermaid-svg-InKBPS202IM6LP0T .label{font

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一、斐波那契数列

所谓斐波那契数列，是指【当前项】的值等于【前两项】之和的数列：

i i i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f ( i ) f(i) f(i)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55

该数列有递推公式如下：

f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) = \begin{cases} 1 & (n = 0) \\ 1 & (n = 1) \\ f(n-1) + f(n-2) & (n > 2) \end{cases} f(n)=⎩⎪⎨⎪⎧11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)

二、递归求解斐波那契数列

C++ 代码实现如下：

int f(unsigned int n) {
	if(n <= 1) {
		return 1;
	}
	return f(n-1) + f(n-2);
}

直接根据公式进行递归求解；

三、时间复杂度分析

图解求解的过程如下：

这是一棵二叉树，树的高度为 n，所以粗看深度优先搜索时访问的结点数为 2 n 2^n 2n，但是仔细看，最左边的结点的高度一定比右边结点的高度大，所以不是一棵严格的完全二叉树。为了探究它实际的时间复杂度，我们改下代码：

int f(unsigned int n) {
	++c[n];
	if(n <= 1) {
		return 1;
	}
	return f(n-1) + f(n-2);
}

加了一句代码 ++c[n];，引入一个计数器，来看下在不同的 n n n 的情况下， f ( n ) f(n) f(n) 这个函数会被调用几次；
实测下来的表格如下：

n n n	f ( n ) f(n) f(n)	c [ n ] c[n] c[n]
0	1	1
1	1	1
2	2	3
3	3	5
4	5	9
5	8	15
6	13	25
7	21	41
8	34	67
9	55	109
10	89	177
11	144	287
12	233	465
13	377	753
14	610	1219
15	987	1973
16	1597	3193
17	2584	5167
18	4181	8361
19	6765	13529
20	10946	21891
21	17711	35421
22	28657	57313
23	46368	92735
24	75025	150049
25	121393	242785
26	196418	392835
27	317811	635621
28	514229	1028457

观察 c [ n ] c[n] c[n] 的增长趋势，首先排除等差数列，然后再来看是否符合等比数列，我们来尝试求下 c [ n ] / c [ n − 1 ] c[n] / c[n-1] c[n]/c[n−1] 的值，列出表格如下：

n n n	f ( n ) f(n) f(n)	c [ n ] c[n] c[n]	c [ n ] / c [ n − 1 ] c[n]/c[n-1] c[n]/c[n−1]
1	1	1	1.000000
2	2	3	3.000000
3	3	5	1.666667
4	5	9	1.800000
5	8	15	1.666667
6	13	25	1.666667
7	21	41	1.640000
8	34	67	1.634146
9	55	109	1.626866
10	89	177	1.623853
11	144	287	1.621469
12	233	465	1.620209
13	377	753	1.619355
14	610	1219	1.618858
15	987	1973	1.618540
16	1597	3193	1.618348
17	2584	5167	1.618227
18	4181	8361	1.618154
19	6765	13529	1.618108
20	10946	21891	1.618080
21	17711	35421	1.618062
22	28657	57313	1.618051
23	46368	92735	1.618045
24	75025	150049	1.618041
25	121393	242785	1.618038
26	196418	392835	1.618037
27	317811	635621	1.618036
28	514229	1028457	1.618035

观察发现，随着 n n n 的不断增大， c [ n ] / c [ n − 1 ] c[n]/c[n-1] c[n]/c[n−1] 越来越接近一个常数，而这个常数就是：
2 5 − 1 ≈ 1.618034 \frac {2}{ \sqrt 5 - 1} \approx 1.618034 5 −12≈1.618034
当 n 趋近于无穷大的时候，满足如下公式：
c [ n ] = 2 5 − 1 c [ n − 1 ] c[n] = \frac {2}{ \sqrt 5 - 1} c[n-1] c[n]=5 −12c[n−1]
对等比数列化解后累乘得到：
c [ n ] = 2 5 − 1 c [ n − 1 ] = ( 2 5 − 1 ) 2 c [ n − 2 ] = . . . = ( 2 5 − 1 ) n c[n] = \frac {2}{ \sqrt 5 - 1} c[n-1] = (\frac {2}{ \sqrt 5 - 1})^2 c[n-2] = ... = (\frac {2}{ \sqrt 5 - 1})^n c[n]=5 −12c[n−1]=(5 −12)2c[n−2]=...=(5 −12)n
所以，斐波那契数列递归求解的时间复杂度就是：
O ( ( 2 5 − 1 ) n ) O((\frac {2}{ \sqrt 5 - 1})^n) O((5 −12)n)