算法的时间复杂度

算法复杂度的定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进行分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来提现算法时间复杂度的记法，叫做大O记法。
一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O阶方法

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。

常数阶

这个算法的运行次数函数是f(n) = 3。根据推导大O阶法，第一步是把常数项改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)

事实上无论n为多少，上面这段代码就是3次和12次的差异。这种与问题的大小无关(n的多少)，执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
注意：不管这个常数是多少，都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。 对于分支结构而言，无论是真是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而变化，所以单纯的分支结构(不包含循环结构中)，其时间复杂度也是O(1)。

线性阶

线性阶主要分析循环结构的运行情况。

上面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码要执行n次。

对数阶

若算法的T(n) = O(log n)，则称其具有对数时间。

上面这段代码，由2^x=n得到x=log2n(以2为底n的对数)。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

平方阶

内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次，所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。

如果外循环的循环次数改为了m，时间的复杂度就变为O(m*n)。 所以总结得出。循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

下面这个循环嵌套的时间复杂度是多少呢？

从上面这个列子，可以得出一个经验，其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考擦你的数学知识和能力。

对于方法调用的时间复杂度如何分析？ 函数体的时间复杂度是O(1)。，所以整体的时间复杂度为O(n)。

假如function函数改成下面这样的 这个合刚才的列子一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n^2)。

下面这个列子

常见的时间复杂度

最坏情况与平均情况

对算法的分析，一种方法是计算所有情况的平均值，这种时间复杂度的计算方法称为平均时间复杂度。另一种方法是计算最坏情况下的时间复杂度，这种方法称为最坏时间复杂度。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

算法空间复杂度

定义

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。