有了《独立同分布的大样本OLS回归》的铺垫，现在进一步将OLS推广到平稳时间序列的情况。
思路还是一样：
- 进行点估计，再研究估计量的性质；
- 构造统计量，在大样本下推导其渐近分布，并进行假设检验。
这里的各种计算与上一篇非常像，需要注意的是大数定律和中心极限定理在这里的使用条件（遍历平稳、鞅差分过程等）与上一篇不同，因此也需要不同的假设。
1 记号与假设
记Q=E(xtxt′)，V=Var(xtεt)。
- 假设1 遍历平稳性（Ergodic stationary）：{xt′,yt}′，t=1,…,N是可观测的遍历平稳过程；
- 假设2 线性性：yt=xt′β+εt，可写作矩阵形式y=Xβ+ε；
- 假设3 模型正确设定：E(εt∣xt)=0且E(εt2)=σ2<∞；
- 假设4 非奇异性：K×K矩阵Q是对称、有限、非奇异的；
- 假设5 鞅差分：相对于{xsεs,s<t}
生成的σ-域，{xtεt}为一鞅差分序列，且K×K矩阵V是对称、有限、正定的；
- 假设6 条件同方差：E(εt2∣xt)=σ2。
假设1包含了上一篇中的独立同分布过程。由于不再是在独立同分布假设下，因此严格外生性E(εt∣X)=0不一定可以满足。假设3允许xt包含前定变量（predetermined variables）如滞后的因变量yt1等，另外，由于有假设3的保证，V=Var(xtεt)=E(xtxt′εt2)。
2 一些定理
定理1 遍历平稳随机样本的弱大数定律：假设{Zt}t=1n为遍历平稳过程，E(Zt)=μ且E(∣Zt∣)<∞，定义Zˉn=n−1∑t=1nZt，则当n→∞时，有Zˉnpμ。
定理2 遍历平稳鞅差分序列的中心极限定理：若{Zt}t=1n为遍历平稳鞅差分过程，Var(Zt)=V为有限、对称、正定的矩阵。定义Zˉn=n−1∑t=1nZt，则当n→∞时，有
nZˉndN(0,V)
3 β^的性质
这里的全部内容都与上一篇类似。
和之前一样，β^=(X′X)−1X′y，β^与β之差为β^−β=(X′X)−1X′ε。
使用遍历平稳过程的弱大数定律，有Q^pQ，且Q^−1pQ−1。
同样有N1∑t=1NxtεtpE(xtεt)=0（利用了假设3）。由此可得β^−βp0。说明在这里，β^依旧是一致的。
4 β^的渐近分布及假设检验
这里的全部内容都与上一篇类似。
4.1 β^的渐近分布
与上一篇类似，可以推出
N(β^−β)dN(0,Q−1VQ−1)
它的渐近分布的方差又称为渐近方差，记为Avar(Nβ^)=Q−1VQ−1。
若满足假设6，即在条件同方差下，V=σ2Q，渐近分布就变成了
N(β^−β)dN(0,σ2Q−1)
4.2 假设检验
检验零假设H0:Rβ=r，其中R为J×K矩阵。
4.2.1 条件异方差
若零假设成立，则R(β^−β)=Rβ^−r，而左边的渐近分布已经知道了，因此，可构造
N(Rβ^−r)′(RQ−1VQ−1R′)−1N(Rβ^−r)dχJ2
式中的Q和V我们还需要进行估计。与上一篇类似，我们有Q^pQ，对于V，我们同样可其用样本形式估计：
V^=N−1t=1∑Nxtxt′et2=NX′D(e)D(e)′X
其中D(e)=diag(e1,…,eN)。
可以证得，V^pV。
最后，用Q^和V^进行替换，得：
N(Rβ^−r)′(RQ^−1V^Q^−1R′)−1(Rβ^−r)dχJ2
当J=1时，χ12开根号就是标准正态分布，因此可直接构造t统计量：
RQ^−1V^Q^−1R′N(Rβ^−r)dN(0,1)
4.2.2 条件同方差
若满足假设6，则V=σ2Q，代入上一节，有
N(Rβ^−r)′(σ2RQ^−1R′)−1(Rβ^−r)dχJ2
同样用s2代替σ2，它满足s2pσ2。最后可得
N(Rβ^−r)′(s2RQ^−1R′)−1(Rβ^−r)dχJ2
当J=1时，可得
s2RQ^−1R′N(Rβ^−r)dN(0,1) 
