明确了问题，其实就已经把问题解决了⼀半。即然耗时的原因是重复计算， 那么我们可以造⼀个「备忘录」，每次算出某个⼦问题的答案后别急着返 回，先记到「备忘录」⾥再返回；每次遇到⼀个⼦问题先去「备忘录」⾥查 ⼀查，如果发现之前已经解决过这个问题了，直接把答案拿出来⽤，不要再 耗时去计算了。 ⼀般使⽤⼀个数组充当这个「备忘录」，当然你也可以使⽤哈希表（字 典），思想都是⼀样的。
int fib(int N) {
if (N < 1) return 0;
// 备忘录全初始化为 0 vector<int> memo(N + 1, 0);
// 初始化最简情况 return helper(memo, N);
}
int helper(vector<int>& memo, int n) {
// base case if (n == 1 || n == 2) return 1;
// 已经计算过 if (memo[n] != 0) return memo[n];
memo[n] = helper(memo, n - 1) +
helper(memo, n - 2); return memo[n];
}
现在，画出递归树，你就知道「备忘录」到底做了什么。
实际上，带「备忘录」的递归算法，把⼀棵存在巨量冗余的递归树通过「剪 枝」，改造成了⼀幅不存在冗余的递归图，极⼤减少了⼦问题（即递归图中 节点）的个数。
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递归算法的时间复杂度怎么算？⼦问题个数乘以解决⼀个⼦问题需要的时间。
⼦问题个数，即图中节点的总数，由于本算法不存在冗余计算，⼦问题就是 f(1) , f(2) , f(3) ... f(20) ，数量和输⼊规模 n = 20 成正⽐，所以⼦问 题个数为 O(n)。
解决⼀个⼦问题的时间，同上，没有什么循环，时间为 O(1)。 所以，本算法的时间复杂度是 O(n)。⽐起暴⼒算法，是降维打击。 ⾄此，带备忘录的递归解法的效率已经和迭代的动态规划解法⼀样了。
实际 上，这种解法和迭代的动态规划已经差不多了，只不过这种⽅法叫做「⾃顶 向下」，动态规划叫做「⾃底向上」。 啥叫「⾃顶向下」？注意我们刚才画的递归树（或者说图），是从上向下延 伸，都是从⼀个规模较⼤的原问题⽐如说 f(20) ，向下逐渐分解规模，直 到 f(1) 和 f(2) 触底，然后逐层返回答案，这就叫「⾃顶向下」。
啥叫「⾃底向上」？反过来，我们直接从最底下，最简单，问题规模最⼩的 f(1) 和 f(2) 开始往上推，直到推到我们想要的答案 f(20) ，这就是动 态规划的思路，这也是为什么动态规划⼀般都脱离了递归，⽽是由循环迭代 完成计算。
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