图灵杯-第四届“图灵杯”NEUQ-ACM 程序设计竞赛-A-谷神的赌博游戏

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描述

题解

这个题是一个数论题，主要是推公式，但是 dp 同样是可以过的……

先来说 dp（代码 One），设置 dp[i][j][k][r] 表示 %3 后的数 1 出现了 i 次， 2 出现了 j 次，0 出现了 k 次，此时余数为 r 的概率，这样我们就可以轻松转移出来每一个状态了，具体状态转移看代码吧！

说到数论，这个题首先我们可以将所有数 %3 后发现， 0 和 2 都出现了 n 次，1 出现了 n+1 次，这里 0 对序列的余数状态无影响，所以我们最后考虑。
此时存在两种情况，以 1 打头、2 打头，分别考虑下来，
第一种的序列是 1121212…1212 ，这种情况，很明显，从头到尾都是唯一的，并且是合法的，这里的唯一说的是 %3 后的结果，酱紫，我们知道了每个数所能放的位置，所以只考虑 1 和 2 的计算结果为 n!∗(n+1)! ，接着我们可以考虑往其中插入 0 ，由于开头不能插，所以插零的方案数为 (2n+1)∗(2n+2)∗…∗3n，根据乘法原理，得到以 1 打头的情况数为：n!∗(n+1)!∗(2n+1)∗(2n+2)∗…∗3n。
第二种的序列是 2212121…2111 ，这种情况，我们会发现，当 2 使用完后，会紧接着放 111，而这里从第二个开始，就不合法了，所以以 2 打头的情况是无解的。

而所有的排列结果为 (3n+1)!，所以相除化简后：

n!(n+2)∗…∗2n∗(3n+1)

化简形式不唯一，考虑到代码的最简，化成下边的形式最好：

n!∗(n+1)(n+1)∗…∗2n∗(3n+1)

就酱，这个题算是告一段落了~~~

代码

One：

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int MAXN = 22;

int n;
double dp[MAXN][MAXN][MAXN][3];

int main()
{
    int T;
    cin >> T;

    while (T--)
    {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));

        cin >> n;
        int m = 3 * n + 1;
        for (int i = 0; i <= n + 1; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= n; j++)
            {
                for (int k = 0; k <= n; k++)
                {
                    if (i + j + k == 1)
                    {
                        if (i)
                        {
                            dp[i][j][k][1] = (n + 1) * 1.0 / m;
                        }
                        else if (j)
                        {
                            dp[i][j][k][2] = n * 1.0 / m;
                        }
                        continue;
                    }

                    int now = m - i - j - k + 1;
                    dp[i][j][k][1] = (j == 0 ? 0 : dp[i][j - 1][k][2] * (n - j + 1) / now)
                                   + (k == 0 ? 0 : dp[i][j][k - 1][1] * (n - k + 1) / now);
                    dp[i][j][k][2] = (i == 0 ? 0 : dp[i - 1][j][k][1] * (n - i + 2) / now)
                                   + (k == 0 ? 0 : dp[i][j][k - 1][2] * (n - k + 1) / now);
                }
            }
        }

        printf("%.9lf\n", dp[n + 1][n][n][1]);
    }

    return 0;
}

Two：

#include <cstdio>

int n;
double ans;

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);

    while (T--)
    {
        scanf("%d", &n);

        ans = (n + 1.0) / (3 * n + 1);
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            ans = ans * i / (i + n);
        }

        printf("%.9f\n", ans);
    }

    return 0;
}