描述
题解
寻找 n 种 bug 且 s 个子系统均有波及的期望。
设 dp[i][j] 表示已经找到了 i 种 bug，并且已经波及到了 j 个子系统的期望。
所以，dp[n][s]=0.0，而 dp[0][0] 则是我们要求的答案。
由题可知， dp[i][j] 可以转化为以下四种：
- dp[i][j] 发现一个已经找到的 bug 并且位于已经波及的子系统中
- dp[i+1][j] 发现一个未找到的 bug 并且位于已经波及的子系统中
- dp[i][j+1] 发现一个已经找到的 bug 并且位于未波及的子系统中
- dp[i+1][j+1 发现一个未找到的 bug 并且位于未波及的子系统中
以上四种状态对应的概率分别为：
- p1=i∗jn∗s
- p2=(n−i)∗jn∗s
- p3=i∗(s−j)n∗s
- p4=(n−i)∗(s−j)n∗s
正如 kuangbin 大佬所说的那样概率 DP 一般正着是求概率，逆着是求期望。
所以，
dp[i][j]=p1∗dp[i][j]+p2∗dp[i+1][j]+p3∗dp[i][j+1]+p4∗dp[i+1][j+1]+1
这里 +1 是因为每次都多一天。
整理可得，
dp[i][j]=(n∗s+(n−i)∗j∗dp[i+1][j]+i∗(s−j)∗dp[i][j+1]+(n−i)∗(s−j)∗dp[i+1][j+1])/ (n∗s−i∗j)
这个题十分的玄学，用 G++WA ，用 C++AC 。
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 1e3 + 10;
int n, s;
double dp[MAXN][MAXN];
int main(int argc, const char * argv[])
{
cin >> n >> s;
int t = n * s;
dp[n][s] = 0.0;
for (int i = n; i >= 0; i--)
{
for (int j = s; j >= 0; j--)
{
if (i == n && j == s)
{
continue;
}
dp[i][j] = (t
+ (n - i) * j * dp[i + 1][j]
+ i * (s - j) * dp[i][j + 1]
+ (n - i) * (s - j) * dp[i + 1][j + 1])
/ (t - i * j);
}
}
printf("%.4lf\n", dp[0][0]);
return 0;
}
