动态规划问题思考分为4步： 定义状态，思考状态转移方程，思考初始值，思考输出
第一步：定义状态
不同的状态定义会使得转移方程的复杂度不同。
如最大子序和中，我自己定义的dp[i]的含义是从下标0开始长度为i的数组的最大子序列，这个定义导致转移方程非常复杂。题解的定义为dp[i]表示以nums[i]结尾的连续子数组的最大和。这样定义的状态方程十分简单。
怎么想到这么定义的呢？首先一个连续子序列一定要以一个数作为结尾，再者凭经验，和类似的题目最长上升子序列、按摩师
第二步：思考状态转移方程
状态转移指的是从「状态i-1」转移到「状态i」。
发生转移的原因是你做了某种操作，弄清楚在当前状态下你可以做哪些操作对写出状态转移方程很关键。 如买卖股票的最佳时机中，dp[i]表示截止到第i天的最大收益，从状态i-1到状态i，你可以对股票进行两种操作：
- 无操作（或者理解成当天买入又卖出）
- 卖出
没有买入操作是因为，截止到第i天的最大收益一定不会持有股票。当进行第一种操作时，截止到第i天的最大收益等于截止到第i-1天的最大收益，即dp[i]=dp[i-1]。
当进行第二种操作时，最大收益取决于哪一天买入，因此dp[i]=第i天的价格-前i-1天中最小价格。
因此，转移方程为 前i天的最大收益=max{前i-1天的最大收益，第i天的价格-前i-1天中最小价格}。
例题
不同路径
求解dp时，要注意求解顺序，如此题中状态转移方程是dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j+1];状态（i,j）取决于状态(i+1.j)和(i,j+1)，因此循环时i和j都应该递减
class Solution {
public int uniquePaths(int m, int n) {
if (m==1 || n==1) {
return 1;
}
int[][] dp=new int[m][n];
dp[m-1][n-1]=1;
//dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j+1];
for (int i=m-1;i>=0;i--) {
for (int j=n-1;j>=0;j--) {
if (i==m-1 || j==n-1) {
dp[i][j]=1;
continue;
}
dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j+1];
}
}
return dp[0][0];
}
}
不同路径Ⅱ
class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
int m=obstacleGrid.length;
int n=obstacleGrid[0].length;
int rowOb=-1,colOb=-1;//最后一行和最右边一列的障碍位置
int[][] dp=new int[m][n];
for (int j=n-1;j>=0;j--) {
if (obstacleGrid[m-1][j]==1) {
rowOb=j;
break;
}
}
for (int i=m-1;i>=0;i--) {
if (obstacleGrid[i][n-1]==1) {
colOb=i;
break;
}
}
for (int i=m-1;i>=0;i--) {
for (int j=n-1;j>=0;j--) {
if (obstacleGrid[i][j]==1) {
continue;
}
if (i==m-1) {
if (j>rowOb) {
dp[i][j]=1;
}else {
dp[i][j]=0;
}
continue;
}
if (j==n-1) {
if (i>colOb) {
dp[i][j]=1;
}else {
dp[i][j]=0;
}
continue;
}
dp[i][j]=dp[i+1][j]+dp[i][j+1];
}
}
return dp[0][0];
}
}
最长公共子序列
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int len1=text1.length();
int len2=text2.length();
int[][] dp=new int[len1][len2];
if (text1.charAt(0)==text2.charAt(0))
dp[0][0]=1;
for (int i=1;i<len1;i++) {
if (text1.charAt(i)!=text2.charAt(0))
dp[i][0]=dp[i-1][0];
else
dp[i][0]=1;
}
for (int j=1;j<len2;j++) {
if (text1.charAt(0)!=text2.charAt(j))
dp[0][j]=dp[0][j-1];
else
dp[0][j]=1;
}
for (int i=0;i<len1;i++) {
for (int j=0;j<len2;j++) {
if (i==0 || j==0)
continue;
if (text1.charAt(i)==text2.charAt(j))
dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
else
dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
}
}
return dp[len1-1][len2-1];
}
}
