数据结构之查找

挑战风车42
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本文内容参考了《数据结构 c语言版 第2版》由严蔚敏 李冬梅 吴伟民编著

1、查找的基本概念

  • 查找表：由同一类型的数据元素构成的集合。由于集合中的数据元素之间是完全松散的关系，因此查找表是一种比较灵便的数据结构，可以用线性表、树表、散列表来实现
  • 关键字：数据元素或者记录当中某个数据项的值，用它可以标识一个数据元素。
  • 主关键字：可以唯一标识一条记录的关键字
  • 次关键字：可以识别若干记录的关键子
  • 查找：根据给定的某个值，在查找表当中确定一个其关键字等于给定值的记录或数据元素
    • 如果存在这么一条记录，则查找成功，此时查找的结果可给出整个记录的信息，或指示该记录在查找表当中的位置
    • 如果表中不存在关键字等于给定值的记录，则称查找不成功，此时查找的结果可以给出一个空记录或空指针
  • 动态查找表：在查找的同时对表做修改操作（插入和删除），则相应的表称之为动态查找表
    • 若表中存在其关键字等于给定值的记录，则查找成功返回
    • 不存在，则插入关键子等于给定值的记录
  • 静态查找表：查找过程中不会修改表
  • 平均查找长度：为确定记录在查找表当中的位置，需要和给定值进行比较的关键字个数的期望值，称为查找算法在查找成功时的平均查找长度

2、线性表的查找

2.1 顺序查找

顺序查找：从表的一端开始，依次将记录的关键字和给定值进行比较，若某个记录的关键字和给定值相等，则查找成功；反之，扫描整个表都没有找到和给定值相等的关键字的记录，则查找失败 顺序查找方法适用于线性表的顺序存储结构，又适用于链式存储结构

设置监视哨的顺序查找

  • 原先每次for循环结束条件是当前的下标是否到头，循环的内部判断关键字是否相同

      int search_seq(SSTable ST,KeyType key){
      for(int i = ST.length; i >= 1; i--){
          if(ST.R[i].key == key) return i;
      }
      return 0;
  }

  • 设置监视哨，就比如顺序表的第一个元素是不存放的，专门用来做一个哨兵，for循环的终止条件变成找到关键字为key的记录，要么到头，要么真的找到了。这个改进可以让顺序查找在ST.length >= 1000时，进行一次查找所需要的平均时间减少一半

      int search_seq(SSTable ST,KeyType key){
      ST.R[0].key = key;
      int i;
      for(i = ST.length; ST.R[i].key == key ; i--){
      }
      return i;
  }

  • 时间复杂度：O(n)

  • 顺序查找优点：

    • 算法简单
    • 对于表的结构没有要求，适用于顺序结构，也适用于链式结构
    • 关键字是否有序都是可用的

  • 顺序查找缺点

    • 查找长度大时查找效率低

2.2 折半查找

折半查找：也叫二分查找，是一种效率较高的查找方法。要求线性表必须采用顺序存储结构，表中的元素按照关键字有序排列。

如果从小到大排列，查找过程是，从表的中间记录开始：

  • 如果给定值和中间记录的关键字相等，则查找成功
  • 如果给定值大于或小于中间记录的关键字的关键字，则在表中大于或小于中间记录的那一半中查找，这样重复操作，直到查找成功

折半查找每次查找比较都会让查找范围缩小一半，与顺序查找比较，会提高查找效率

  • 时间复杂度：O(logn)
  • 折半查找优点
    • 比较次数小，查找效率高
  • 折半查找缺点
    • 对表结构要求高，只能用于顺序存储的有序表
    • 考虑到进行插入和删除时平均都要移动一半的元素，不太适用于需要频繁变动数据元素的线性表

2.3 分块查找

分块查找，又称为索引顺序查找，性能介于顺序表和折半查找之间的一种查找方式，除了表本身，还需要建立一个索引表。

通过索引表，将整个线性表分为多个子表，索引表内为每个子表存储了一个索引项，每个索引项内包含了关键字项和指针项，关键字为子表的最大关键字，指针指向子表开始的位置。

索引表按照关键字有序排列表项，而存储数据的表是分块有序，比如A索引关键字大于B索引，则A内的所有数据的关键字都大于B内所有最大关键字

  • 分块查找查找过程
    • 确定所在的块，顺序查找或者折半查找索引，找到关键字满足 A<key<=B，则这条记录在B块当中
    • 在块内进行顺序查找，如果找到则返回记录，如果遍历完子表都没有找到则说明没有这个关键字对应记录
  • 平均查找长度：Lb + Lw ,Lb表示确定所在块的平均查找长度，Lw为在块中查找元素的平均查找长度
  • 分块查找的优点：
    • 在表中插入和删除元素时，只需要找到元素对应的块，就可以在该块内进行插入和删除操作，块内无序，故插入和删除比较容易
    • 如果线性表既要快速查找，又要动态变化，适合用分块查找
  • 分块查找的缺点
    • 依赖于索引表，需要增加索引表这个新的数据结构
    • 索引表需要排序

3、树表的查找

顺序表的查找更适合于用静态查找的方式，因为插入或删除元素都需要移动多条记录。如果需要动态查找，适合采用几种特殊的二叉树作为查找表的组织形式。

3.1 二叉排序树

二叉排序树也叫二叉查找树

  • 二叉排序树的定义

    • 二叉排序树要么是一棵空树，要么是一棵具有如下性质的完全二叉树
    • 若它的左子树不为空，则左子树上的所有结点的值均小于它的根节点的值
    • 若它的右子树不为空，则右子树上的所有结点的值均大于它的根节点的值
    • 左右子树分别为二叉排序树

  • 中序遍历一棵二叉排序树可以得到一个结点值递增的有序序列

3.1.1 二叉排序树的查找

  • 查找方式

    • 若二叉排序树为空，则查找失败，返回空指针
    • 若二叉排序树非空，则比较根关键字和所查找的关键字
      • 如果根结点关键字等于所查找关键字，则查找成功，返回该结点
      • 如果根结点关键字大于所查找关键字，递归查找左子树
      • 如果根结点关键字大于所查找关键字，递归查找右子树

  • 平均查找长度

    • 最坏情况，这棵树是一个单支树，n个结点组成，平均查找需要(n + 1)/2 次

    • 最好情况，这棵树是一棵满二叉树，n个结点组成，平均查找长度为logn的相同数量级

3.1.2 二叉排序树的插入

  • 插入方式
    • 若二叉排序树为空，则将待插入的结点作为根结点
    • 若二叉排序树不为空，则将待插入的结点关键字与当前根节点关键字比较
      • 如果当前根结点的关键字 < 待插入结点关键字，将结点插入右子树
      • 如果当前根结点的关键字 > 待插入结点关键字，将结点插入左子树

3.1.3 二叉排序树的删除

  • 被删除的结点是叶子结点，这个时候只需要修改双亲的孩子指针为空

  • 被删除的结点只有左子树或者右子树，这个时候如果被删除的结点是双亲结点的左子树，则删除的结点的子树作为双亲结点的左子树，右结点则反之

  • 被删除的结点左右子树都不为空，可以从二叉排序树的中序遍历是从小到大的序列入手，...PL P PR ... , 此时存在两种处理方式

    • 将PL链接到P的父节点上，PR作为右子树链接到原本PL的最大关键字的结点上，这样会让树的深度增加
    • 用PL的最大关键字的结点代替P，PR不需要动，如果最大关键字的结点原来存在左子树，把左子树移动到该结点的父节点的右子树位置

  • 时间复杂度：O(logn)

3.2 平衡二叉树

二叉排序树查找的性能取决于树的结构，如果数据是有序排列的，查找的时间复杂度为O(n),如果树的结构合理，查找的时间复杂度为O(logn),树的高度越小，那么查找需要的次数越小。

  • 平衡二叉树的概念
    • 平衡二叉树或是空树，或是具有如下特征的二叉排序树
    • 左子树和右子树深度相差不超过1
    • 左子树和右子树也是平衡二叉树
  • 平衡因子：该结点的左子树和右子树的深度之差，如果该树是平衡二叉树，那么每个结点的平衡因子都只能是 -1，1，0

3.2.1 平衡二叉树的调整方法

找到距离插入结点最近的平衡因子的绝对值超过1的祖先结点，以该结点为根的子树称为最小不平衡子树，重新调整的范围限定在这棵最小不平衡子树

一般情况下，假设最小不平衡子树的根结点为A,则失去平衡后进行调整的的规律可分为如下四种情况

  • LL型
    • 在A左子树根结点B的左子树上插入结点，让A的平衡因子由1增加到2，需要进行一次向右顺时针旋转
      • A的左子树根节点B变为整个树的根结点，A变为B的右子树
      • 如果B原来存在右子树，则把B的右子树变为A的左子树

LL.png

  • RR型
    • 在A的右子树根节点B的右子树上插入结点，A的平衡因子由-1增加到-2，需要进行一次向左逆时针旋转
      • A的右子树根结点B变为整个树的根结点，A变为B的左子树
      • 如果B原来存在左子树，那么需要把B的左子树变为A的右子树

RR.png

  • LR型
    • 在A的左子树根结点B的右子树C上插入结点，A的平衡因子由1增加到2，需要进行两次旋转
      • 将C和B逆时针旋转，让B变为C的左子树，如果C原来存在左子树，那么C的左子树变为B的右子树
      • 此时情况变为了LL的情况，让C和A顺时针旋转，A变为C的右子树，如果C原来存在右子树，那么C的右子树变为A的左子树

LR.png

  • RL型
    • 在A的右子树根结点B的左子树C上插入结点，A的平衡因子由-1变为-2，需要进行两次旋转
    • 将C和B旋转，让B变为C的右子树，如果C原来有右子树，那么让其成为B的左子树
    • 将C和A旋转，让A变为C的左子树，如果C原来有左子树，那么让其成为A的右子树

3.3 B树

前面介绍的查找方式使用于存储在计算机内存中较小的文件，统称为内查找法。如果文件很大且存放于外存进行查找时，这些方法就不适用了。内部查找都是以结点为单位进行查找，这样需要反复进行内、外存的交换，是很费时的。

B树，也叫B-树，是适用于外部查找的平衡多叉树，磁盘管理系统中的目录管理，以及数据库系统中的索引组织大多都采用B树这种数据结构。

3.3.1 B树的定义

  • 一棵m阶的B-树，或为空树，或为满足下列特性的m叉树
    • 树中的每个结点至多有m棵子树
    • 若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树
    • 除了根之外的所有非终端结点至少有m/2向上取整 棵子树
    • 所有的叶子节点都出现在同一层次，并且不带信息，通常称为失败结点，失败结点并不存在，指向这些节点的指针为空，引入失败结点是为了便于分析B树的查找能力
    • 所有非终端结点最多有m-1个关键字，每个结点包括了当前结点的关键字个数，关键字，以及关键字个数+1个指针，为了记录双亲结点，也会添加双亲结点的指针域

      • 多个关键字按照大小顺序排列

      • 关键字左指针指向的子树所有关键字都小于该关键字，关键字右指针指向的子树所有关键字都大于该关键字

  • B树体现的特点
    • 平衡：每个叶子结点均在同一层次
    • 有序: 树中每个结点当中的关键字都是有序的，且关键字K1左子树中的关键字均小于K1,而右子树中的关键字都大于K1
    • 多路：有的结点一个关键字，有两棵子树，有的结点2个关键字，有3棵子树

3.3.2 B树查找

在结点内顺序查找关键字，确定位置后到下一个结点去顺序查找关键字，这样逐层遍历单个结点，最终找到关键字即找到，找到叶子结点就表示没有查找到

3.3.3 B树插入

B树是平衡多叉树，如果是m叉树，那么其除了根结点以外的其他结点，都至少有 m/2 向上取整的子树，即出了根节点外，每个结点内都至少需要有 m/2 - 1向上取整 - 1 个关键字，至多有m - 1个关键字。比如3叉树，则除了根结点外，其他结点内至少需要包含1个关键字，至多包含2个关键字

  • 插入一个结点是在最低层某个非终端结点添加一个关键字
    • 如果关键字数量不超过 m - 1，那么插入完成
    • 如果关键字数量超过 m - 1，需要分裂，将此结点在同一层分为两个结点，以中间关键字为界限，把结点一分为二，把中间关键字插入到双亲结点上，如果双亲结点满了，以同样的方式分裂双亲结点，最坏情况一直分裂到根结点，树的高度加一

3.3.4 B树删除

删除操作是指删除某个关键字以及其临近的指针，删除之后该树依然要满足B树的定义 * 如果删除关键字后结点的关键字小于 m/2向上取整 - 1个，那么需要进行合并 * 删除指针 * 如果删除的指针指向为空，那么直接删除 * 如果删除的指针指向一棵子树，需要...

3.4 B+树

B+树是B树的变形树，更适合用于文件索引系统

  • B+树和B树的区别

    • 有n棵子树的结点包含n个关键字
    • 所有的叶子结点包含了全部关键字的信息，以及指向包含这些关键字记录的指针，叶子结点本身依靠关键字的大小自小而大顺序连接
    • 所有非终端结点都可以看作是索引部分，结点中仅包含子树根结点中最大或最小的关键字
    • B+树有两个头指针，一个指向根结点，一个指向最小关键字所在结点，所以查找也有两种方式，一种从最小关键字起顺序查找，另一种从根结点开始进行随机查找

  • B+树的查找：若非终端结点上的关键字等于给定值，并不终止，继续向下查找直到找到了叶子结点

  • B+树的插入：仅在叶子节点上进行插入，插入后关键字大于m个需要进行分裂，分裂后双亲结点添加两个结点的最大关键字，如果双亲结点关键字个数超过m，双亲结点分裂

  • B+树的删除：仅在叶子结点当中进行删除，叶子结点中的最大关键字被删除后，需要在非终端结点中选中一个代替的关键字，如果删除关键字让结点中关键字的个数小于m/2向上取整个，需要进行合并

4 散列表的查找

前面的关于线性表的查找，树表的查找都是基于关键字的比较，查找时间和表的长度有关，当表中的记录很多的时候，查找需要大量和关键字进行比较，查找速度会很慢。如果能在元素的存储位置和其关键字中建立某种直接关系，做查找的时候就无需做比较，或者做很少次数的比较。

由关键字和对应关系找到记录的方法称为数列查找法（Hash Search），它通过对元素的关键字进行某种运算，直接求出元素的地址，不要反复比较，因此，散列查找法又叫做杂凑法或数列法。

  • 散列函数和散列地址： 在记录的存储位置p和关键字key之间建立一个确定的对应关系H，使p=H(key)，称这个对应关系H为散列函数，p为散列地址
  • 散列表：一个有限连续的地址空间，用以存储按散列函数计算得到的相应散列地址的数据纪律，通常是一个一维数组，散列地址是数组的下标
  • 冲突：对于不同的关键字可能可到同一散列地址。这两个关键字互为同义词

4.1 散列函数构造方法

  • 构造散列函数的方法很多，一般具体问题具体分析，通常需要考虑以下因素
    • 散列表的长度
    • 关键字的长度
    • 关键字的分布情况
    • 计算散列函数需要的时间
    • 记录的查找频率
  • 好的散列函数具备以下特征
    • 函数计算要简单，每一关键字都只能有一个散列地址与之对应
    • 函数的值域需要在表长的范围内，计算得到的散列地址应当分布均匀，尽可能减少冲突
  • 构造方法
    • 数字分析法：事先知道关键字集合，每个关键字的位数比散列表地址码位数多，每个关键字有n位数组成，如k1k2...kn,则可以从关键字中提取数字分布比较均匀的若干位作为散列地址
    • 平方取中法：选定散列函数的时候不一定知道关键字的全部情况，取其中的几位作为散列地址也不一定合适。一个数的平方后的中间几位数和数的每一位都相关，可以取其中间几位数或者组合作为散列地址，也比较随机
    • 折叠法：将关键字分为位数相同的几个数，取这几个数的叠加和舍去进位作为散列地址
      • 移位叠加：正序读取每一个分割的数
      • 边界叠加：S型读取每一个分割的数
    • 除留余数法：设散列表长为m,选择一个不大于m的数p，用p去除关键字，除后所得余数为散列地址，即H(key) = key % p。需要选取适当的p，一般p为小于表长的最大质数。这种方法是最常用的构造散列函数的方法。

4.2 处理冲突的方法

在实际应用中，很难完全避免发送冲突，所以选择一个有效的处理方法是散列法的一个关键问题。

处理冲突的方法和散列表本身的组织形式有关。按照组织形式的不同，通常分为两大类：开放地址法和链地址法

4.2.1 开放地址法

把记录都存放到散列表数组当中，当某一记录关键字key的初始散列地址H0 = H(key)发生冲突时，以H0为基础，采用合适的方法计算得到另一个地址H1，如果H1仍然发生冲突，以H1为基础求H2，直到找到不发生冲突的位置。

由于寻找下一个空的散列地址时，数组空间对于所有元素都是开放的，所以称为开放地址法,用公式表示是，Hi = (H(key) + di) % m，i = 1,2,...,k(k <= m - 1)

  • 线性探测法: 发生冲突时从冲突地址的下一个单元顺序查找，如果到最后一个位置也没有找到，则回到表头查找
    • di = 1,2,3,4,..,m - 1
    • 只要线性表没有被填满，就可以找到位置
    • 会发生二次聚集，两个第一个散列地址不同的数争夺同一个后继散列地址
  • 二次探测法：
    • di = 1^2,-1^2,2^2,-2^2,...,+k^2,-k^2 (k <= m/2)
    • 可以避免二次聚集，但不一定能找到
  • 伪随机探测法:
    • di = 伪随机数序列
    • 可以避免二次聚集，但不一定能找到

4.2.2 链地址法

把具有相同散列地址的记录放在一个单链表中，称为同义词链表，有m个散列地址就有m个单链表，单链表的头指针用一个一维数组存储，散列地址相同的记录都以结点的形式插入到对应的单链表单中，使用前插法效率更高

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