矩阵分解

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矩阵的分解

矩阵的分解非常重要，很多时候我们都需要使用到矩阵的分解，这会给我们提供极大的方便,笔者学习这一类问题花费了很多时间,想要看懂这一章，需要先看{% post_link 矩阵的类型及性质 %}

矩阵的特征值分解

要求$n*n$矩阵拥有$n$个线性无关的特征向量 矩阵的特征值分解指的是利用特征值构造的矩阵进行分解。特征值与特征向量是这样定义的

这里我们注意到如果$n*n$的矩阵$A$拥有$n$个线性无关的特征向量，我们很容易就可以列出下面的式子:

这就是矩阵的特征值分解了

矩阵的QR分解

要求矩阵列满秩 我们通过Gram-Schmidt正交化手段，可以得到一个所有列向量正交的矩阵,这个过程叫矩阵的正交化 Gram-Schmidt在正交化矩阵A第i个列向量的时候，使用前i-1个已经正交化了的列向量对其进行消除分量，这个过程逆过来看待就是从正交化矩阵到原始矩阵的过程，原始矩阵到正交化矩阵的时候，原始矩阵的前i个列向量线性组合能够得到正交矩阵的第i个列向量，那么，正交矩阵的前i个向量线性组合能够得到原始矩阵的第i个列向量，我们把正交矩阵得到原始矩阵的组合方式用矩阵来表示的话，这个矩阵显然是一个上三角矩阵。那个正交矩阵叫做$Q$,上三角矩阵叫做$R$，我们就有了$A=QR$,$Q$其实就是Gram-Schmidt的结果，R不好计算，但是原理都懂，不好模拟，但是在A是方阵的时候，$R$我们偷个懒,我们可以这样得到$R=Q^{-1}A=Q^TA$

矩阵的LU分解

矩阵的LU分解要求,可逆方阵 即将矩阵A分解为LU，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，大家手动模拟一下就知道怎么处理了，这里开个头，A(0,0)只能有L(0,0)*U(0,0)得到，通常我们假设L(0,0)=1,然后类似于这种，再考虑L的第二行和R的第二列,这时候，所有的值都是固定的了。。。这个过程中如果A对角线出现了0，记录初等行互换就行了，这时候我们的行互换会构成一个矩阵P，即$PA = LU$ ， 即$A = P^TLU$

矩阵的LR分解

无要求 通过初等行变化，将矩阵A变为Hermite型(阶梯矩阵)R，这个过程中，我们可以在A右边增广一个单位阵L，当算法结束的时候R是阶梯型，L也是，我们只保留R的非零行和L相应的列即可，最终$A=LR$，且L为列满秩，R为行满秩

矩阵的SVD分解

现在有个$n\*m$的矩阵$A$，注意到矩阵$A^HA$是一个厄米特矩阵，且是半正定矩阵，由正规矩阵的性质我们不难得出一个式子$V^HA^HAV = D_2$,其中$V$是$A^HA$的特征向量构成的酉矩阵，$D_2$是对角矩阵，根据半正定矩阵的性质，我们得出$D_2$中的元素非负，进而我们可以构建$n\*m$矩阵$D$，$D$只在对角线上的值非零,且$D(i,i)=\sqrt{D_2(i,i)}$,使得的$D\*D^H=D_2$,进而我们得到了分解$V^HA^HAV = D^HD$,对$AV$来说他的前r个列向量间正交,取出他们$\{v_1,v_2...,v_r\}$，这些其实就是$A^HA$的特征向量，对应的特征值是$\sigma_i^2$,我们构造$u_i = \frac{Av_i}{\sigma_i}$得到了$\{u_1,u_2,...u_r\}$加0扩充为$\{u_1,u_2,...u_n\}$这就是一个酉矩阵U，不难发现$AV=UD$,即我们得到了分解$A = UDV^H$,这就是$SVD$分解。

方阵的极分解

根据矩阵的$SVD$分解我们不妨设$P=UDU^H$和$Q=UV^H$，不难发现，现在$A=PQ$，这是一个非常好的性质，P是半正定矩阵，Q是酉矩阵。

其实矩阵还有很多很多其他的分解，这里先留一个坑