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题目描述
给你不同面值金币的数组 coins 和一个总钱数 amount，返回能组成 amount 的最小金币个数，如果不能，返回 -1，每种面值的金币数量无限
例一：
输入: coins = [1,2,5], amount = 11
输出: 3
解释: 11 = 5 + 5 + 1
例二：
输入: coins = [2], amount = 3
输出: -1
例三：
输入: coins = [1], amount = 0
输出: 0
例四：
输入: coins = [1], amount = 1
输出: 1
例五：
输入: coins = [1], amount = 2
输出: 2
思路分析
这道题是 LeetCode March Challange Week2 第四天的题（果然后面的题是会比前面的难点），考察的是动态规划算法。做这道题的时候问了我学会计的女朋友的一些想法，她思索片刻后告诉我，可以先尽可能的兑换大面值，然后再兑换第二大的面值，然后第三大...直到最后 amount 归零或者无法兑换为止。
这种方案我相信包括我在内的大部分同学肯定都想过，当时骑车下班回家，吹着冷风想着反例，饿着肚子想吃板栗，幸好没被车撞...反例也想到了。coins = [5,9]，amount = 15
按照上面的算法：
- 第一次肯定选 9 了，然后剩下 amount === 6
- 第二次只能选 5 了，然后剩下 amount === 1
- 第三次没得选，所以返回 -1，但其实正确答案是 3（5+5+5）
回到第一个例子：coins = [1,2,5], amount = 11，我们要(第四声)求 amount = 11 时，最少的金币个数。定义 f(x) 表示 amount 为 x 时，需要的最少的金币个数，那么我们有：
- f(1) = 1
- f(2) = 1
- f(5) = 1
显而易见，兑换 1 块、2 块和 5 块最少只需要一枚金币
目标是求：f(11)
- 假如我们知道了 f(10) 呢？f(11) 可以用 f(10) + f(1) 表示
- 假如我们知道了 f(9) 呢？f(11) 可以用 f(9) + f(2) 表示
- 假如我们知道了 f(6) 呢？f(11) 可以用 f(6) + f(5) 表示
而 f(1)、f(2) 和 f(5) 等于 1，所以 f(11) 的最小值就一定是：Min(f(10),f(9),f(6)) + 1
那么 f(10)、f(9) 和 f(6) 我们也可以用同样的方法推出来，在推的时候一定是基于当前已经计算过的值，这是一个自顶向下的过程。
我们将上述过程抽象成一般过程，求 f(k)：
- 如果 k 在 conis 中直接能找到，则 f(k) === 1
- 否则：在 coins 中找到所有比 k 小的面值（例如：ij），找出 f(k-i)、f(k-j) 的最小值，最小值 + 1 即 f(k) 的值
写出的动态规划代码如下：
AC 代码
var coinChange = function (coins, amount) {
if (amount === 0) {
return 0;
}
const set = new Set(coins);
const dp = [];
for (let i = 1; i <= amount; i++) {
if (set.has(i)) {
dp[i] = 1;
} else {
let min;
for (let coin of coins) {
if (coin < i && dp[i - coin]) {
if (min === undefined || dp[i - coin] < min) {
min = dp[i - coin] + 1;
}
}
}
dp[i] = min;
}
}
return dp[amount] || -1;
};
总结
一般来说，求最值的问题会用到动态规划算法，相比于暴力穷举所有可能算最值，动态规划能很好的利用已求解的子问题，计算最终结果，自底向上一步步逼近最终结果。
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