【魅力算法】“按摩师/打家劫舍”-动态规划、滚动数组思想实现 ｜刷题打卡

题目描述

一个有名的按摩师会收到源源不断的预约请求，每个预约都可以选择接或不接。
在每次预约服务之间要有休息时间，因此她不能接受相邻的预约。给定一个预约请求序列，
替按摩师找到最优的预约集合（总预约时间最长），返回总的分钟数。

注意：本题相对原题稍作改动

 

示例 1：

输入： [1,2,3,1]
输出： 4
解释： 选择 1 号预约和 3 号预约，总时长 = 1 + 3 = 4。
示例 2：

输入： [2,7,9,3,1]
输出： 12
解释： 选择 1 号预约、 3 号预约和 5 号预约，总时长 = 2 + 9 + 1 = 12。
示例 3：

输入： [2,1,4,5,3,1,1,3]
输出： 12
解释： 选择 1 号预约、 3 号预约、 5 号预约和 8 号预约，总时长 = 2 + 4 + 3 + 3 = 12。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/the-masseuse-lcci
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解题思路

动态规划

题目理解

按摩师对于每一个预约请求：

• 可以接受预约；
• 可以不接受预约；
• 且不能接受相邻的预约请求；
• 最后需要得出请求序列总预约时间最长

举例1：预约序列为 [1,2,3,1]有以下几种可能：

• 假设我们接受1号预约，则不能接受2号预约；
  • 为了总预约时长最长；
  • 在3号/4号预约中，选择3预约；
  • 总时长为：1+3=4；
• 假设我们不接受1号预约，则可选择接受2号/3号预约；
  • 假设选择2号预约，则必须选择4号预约：总时长为：2+1=3；
  • 假设选择3号预约，由于不接受相邻预约，则后面的预约不接受；总时长为：3 综上：最佳选择为：1+3=4；

标准动态规划问题：

• 定义状态：dp[i]表示：序列中 0 至 i 区间，接受预约请求最大的时长；
• 状态转移方程：
  • 接受预约：则前一天一定休息，由于状态dp[i-1]定义涵盖了i-1这一天接受预约的情况，
    • 状态转移：dp[i]的状态一定由 dp[i-2]+nums[i] 转移而来；
  • 不接受预约：则前一天可以休息，也可以不休息，
    • 状态转移：dp[i]的状态由 下标为 i-1的 dp[i-1]状态转移而来
  • 状态转移方程为：dp[i]=max(dp[i-2]+nums[i],dp[i-1]);
• 初始化：
  • 由状态转移方程可知，下标最小为 i-2;
  • 因此需要初始化dp[0],dp[1],从dp[2]开始计算，即：第三天开始动态规划；
  • 考虑到需接受预约请求最大的时长：
    • dp[0]:只有一天的时候，必须接受预约；
      • dp[0]=nums[0];
    • dp[1]:前两天，由于不能同时接受预约，因此最优解为：
      • dp[1]=max(nums[0],nums[1]);

时间复杂度O(N):N为数组的长度;

空间复杂度O(N)：状态数组的大小为N；

代码

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var massage = function(nums) {

 let len=nums.length;
 if(len==0){
     return 0;
 }
 if(len==1){
     return nums[0]
 }
 // 定义状态：dp[i]表示：0 至 i区间，接受预约请求最大的时长；
  let dp=[len];
  dp[0]=nums[0];
  dp[1]=Math.max(nums[0],nums[1]);
  for(let i=2;i<len;i++){
      // 今天是否接受预约，选则一个时间最长的
      dp[i]=Math.max(dp[i-1],dp[i-2]+nums[i]);
  }
  return dp[len-1]
  
};

解题思路

滚动数组思想

• 由于只涉及到dp[i]、dp[i-1]、dp[i-2]；
• 当i=2时：
  • dp[i%3]=Math.max(dp[(i-1)%3],dp[(i-2)%3]+nums[i]);
    • dp[2%3]=Math.max(dp[(2-1)%3],dp[(2-2)%3]+nums[i]);
    • dp[2]=Math.max(dp[1],dp[0]+nums[i]);
• 使用3个变量滚动完成计算，将空间优化到常数级别；

时间复杂度O(N):N为数组的长度;

空间复杂度O(1)：状态数组的大小为3；

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
var massage = function(nums) {

 let len=nums.length;
 if(len==0){
     return 0;
 }
 if(len==1){
     return nums[0]
 }
 // 定义状态：dp[i%3]表示：0 至 i区间，接受预约请求最大的时长；
  let dp=[3];
  dp[0]=nums[0];
  dp[1]=Math.max(nums[0],nums[1]);
  for(let i=2;i<len;i++){
      // 今天是否接受预约，选则一个时间最长的
      dp[i%3]=Math.max(dp[(i-1)%3],dp[(i-2)%3]+nums[i]);
  }
  return dp[(len-1)%3]
  
};